Номер 284, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

284. Найдите производную функции:

1) $y = (5 - 4x)^3;$

2) $y = (x^2 - 3x + 4)^6;$

3) $y = \frac{1}{(x^2 - 5x)^5};$

4) $y = \sqrt{4x - 6};$

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 9x};$

6) $y = \cos 9x;$

7) $y = \tan^2 x;$

8) $y = \sqrt{\sin 5x};$

9) $y = \frac{\sin 3x}{x - 1};$

10) $y = x^3 \sin \frac{1}{x}.$

1) $y = (5 - 4x)^3$

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся формулой производной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В данном случае, $u = 5 - 4x$ и $n = 3$.

Производная внутренней функции $u' = (5 - 4x)' = -4$.

Подставляем в формулу:

$y' = 3 \cdot (5 - 4x)^{3-1} \cdot (5 - 4x)' = 3 \cdot (5 - 4x)^2 \cdot (-4) = -12(5 - 4x)^2$.

Ответ: $y' = -12(5 - 4x)^2$.

2) $y = (x^2 - 3x + 4)^6$

Это сложная функция. Применяем ту же формулу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = x^2 - 3x + 4$ и $n = 6$.

Производная внутренней функции $u' = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = 6 \cdot (x^2 - 3x + 4)^{6-1} \cdot (x^2 - 3x + 4)' = 6(x^2 - 3x + 4)^5(2x - 3)$.

Ответ: $y' = 6(2x - 3)(x^2 - 3x + 4)^5$.

3) $y = \frac{1}{(x^2 - 5x)^5}$

Перепишем функцию в виде степени: $y = (x^2 - 5x)^{-5}$.

Используем правило производной сложной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = x^2 - 5x$ и $n = -5$.

Производная внутренней функции $u' = (x^2 - 5x)' = 2x - 5$.

$y' = -5 \cdot (x^2 - 5x)^{-5-1} \cdot (x^2 - 5x)' = -5(x^2 - 5x)^{-6}(2x - 5) = -\frac{5(2x - 5)}{(x^2 - 5x)^6}$.

Ответ: $y' = -\frac{5(2x - 5)}{(x^2 - 5x)^6}$.

4) $y = \sqrt{4x - 6}$

Перепишем функцию в виде степени: $y = (4x - 6)^{1/2}$.

Используем правило производной сложной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = 4x - 6$ и $n = 1/2$.

Производная внутренней функции $u' = (4x - 6)' = 4$.

$y' = \frac{1}{2}(4x - 6)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4x - 6)' = \frac{1}{2}(4x - 6)^{-1/2} \cdot 4 = 2(4x - 6)^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{4x - 6}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{\sqrt{4x - 6}}$.

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 9x}$

Перепишем функцию в виде степени: $y = (x^3 - 9x)^{1/3}$.

Используем правило производной сложной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = x^3 - 9x$ и $n = 1/3$.

Производная внутренней функции $u' = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$.

$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 9x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x^3 - 9x)' = \frac{1}{3}(x^3 - 9x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 9) = \frac{3x^2 - 9}{3\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}} = \frac{3(x^2 - 3)}{3\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}} = \frac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}}$.

6) $y = \cos(9x)$

Для нахождения производной используем правило для сложной тригонометрической функции $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. Здесь $u = 9x$.

Производная внутренней функции $u' = (9x)' = 9$.

$y' = -\sin(9x) \cdot (9x)' = -\sin(9x) \cdot 9 = -9\sin(9x)$.

Ответ: $y' = -9\sin(9x)$.

7) $y = \tg^2x$

Перепишем функцию как $y = (\tg x)^2$. Это сложная функция вида $u^2$, где $u = \tg x$.

Используем формулу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Производная внутренней функции $u' = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

$y' = 2(\tg x)^{2-1} \cdot (\tg x)' = 2\tg x \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{2\tg x}{\cos^2x}$.

Ответ: $y' = \frac{2\tg x}{\cos^2x}$.

8) $y = \sqrt{\sin 5x}$

Это сложная функция. Перепишем ее в виде $y = (\sin 5x)^{1/2}$.

Применяем правило производной степенной функции $y' = \frac{1}{2}(\sin 5x)^{-1/2} \cdot (\sin 5x)'$.

Теперь найдем производную от $\sin 5x$, что тоже является сложной функцией: $(\sin 5x)' = \cos 5x \cdot (5x)' = 5\cos 5x$.

Собираем все вместе: $y' = \frac{1}{2}(\sin 5x)^{-1/2} \cdot 5\cos 5x = \frac{5\cos 5x}{2\sqrt{\sin 5x}}$.

Ответ: $y' = \frac{5\cos 5x}{2\sqrt{\sin 5x}}$.

9) $y = \frac{\sin 3x}{x - 1}$

Используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = \sin 3x$ и $v = x - 1$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sin 3x)' = \cos 3x \cdot (3x)' = 3\cos 3x$.

$v' = (x - 1)' = 1$.

Подставляем в формулу: $y' = \frac{(3\cos 3x)(x - 1) - (\sin 3x)(1)}{(x-1)^2} = \frac{3(x - 1)\cos 3x - \sin 3x}{(x-1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{3(x - 1)\cos 3x - \sin 3x}{(x-1)^2}$.

10) $y = x^3 \sin \frac{1}{x}$

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x^3$ и $v = \sin \frac{1}{x}$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^3)' = 3x^2$.

$v' = (\sin \frac{1}{x})' = \cos(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{1}{x})' = \cos(\frac{1}{x}) \cdot (-x^{-2}) = -\frac{\cos(1/x)}{x^2}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (3x^2)(\sin \frac{1}{x}) + (x^3)(-\frac{\cos(1/x)}{x^2}) = 3x^2\sin\frac{1}{x} - \frac{x^3\cos(1/x)}{x^2} = 3x^2\sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = 3x^2\sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}$.