Номер 277, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^7, x_0 = 1;$

2) $f(x) = \sqrt[6]{x}, x_0 = 64;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^5}, x_0 = 3;$

4) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}.$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^7$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдём производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 7 \cdot 1^6 = 7 \cdot 1 = 7$.

Ответ: $7$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ и точка $x_0 = 64$.

Представим функцию в виде степени, чтобы применить правило дифференцирования: $f(x) = x^{\frac{1}{6}}$.

Найдём производную функции:

$f'(x) = \left(x^{\frac{1}{6}}\right)' = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 64$:

$k = f'(64) = \frac{1}{6} \cdot 64^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6 \cdot 64^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{6 \cdot (\sqrt[6]{64})^5}$.

Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$. Подставим это значение:

$k = \frac{1}{6 \cdot 2^5} = \frac{1}{6 \cdot 32} = \frac{1}{192}$.

Ответ: $\frac{1}{192}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^5}$ и точка $x_0 = 3$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-5}$.

Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^{-5})' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$k = f'(3) = -\frac{5}{3^6} = -\frac{5}{729}$.

Ответ: $-\frac{5}{729}$.

4) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдём производную функции, используя таблицу производных:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$k = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.