Номер 273, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите производную функции:

1) $y = 3x - 11;$

2) $y = \frac{6 - x}{9};$

3) $y = -1;$

4) $y = x^{12};$

5) $y = \frac{1}{x^{11}};$

6) $y = x^{1,7};$

7) $y = x^{-4,1};$

8) $y = \sqrt[9]{x};$

9) $y = \sqrt[8]{x^7};$

10) $y = \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}.$

1) Исходная функция: $y = 3x - 11$.
Для нахождения производной используем правила дифференцирования: производная разности функций равна разности производных, производная $kx$ равна $k$, производная константы равна нулю.
$y' = (3x - 11)' = (3x)' - (11)' = 3 - 0 = 3$.
Ответ: $y' = 3$.

2) Исходная функция: $y = \frac{6-x}{9}$.
Представим функцию в виде $y = \frac{6}{9} - \frac{x}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9}x$.
Теперь найдем производную:
$y' = (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}x)' = (\frac{2}{3})' - (\frac{1}{9}x)' = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{9}$.

3) Исходная функция: $y = -1$.
Это константа, а производная любой константы равна нулю.
$y' = (-1)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

4) Исходная функция: $y = x^{12}$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=12$.
$y' = (x^{12})' = 12 \cdot x^{12-1} = 12x^{11}$.
Ответ: $y' = 12x^{11}$.

5) Исходная функция: $y = \frac{1}{x^{11}}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = x^{-11}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-11$.
$y' = (x^{-11})' = -11 \cdot x^{-11-1} = -11x^{-12}$.
Можно также записать ответ в виде дроби: $y' = -\frac{11}{x^{12}}$.
Ответ: $y' = -11x^{-12}$.

6) Исходная функция: $y = x^{1,7}$.
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=1,7$.
$y' = (x^{1,7})' = 1,7 \cdot x^{1,7-1} = 1,7x^{0,7}$.
Ответ: $y' = 1,7x^{0,7}$.

7) Исходная функция: $y = x^{-4,1}$.
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-4,1$.
$y' = (x^{-4,1})' = -4,1 \cdot x^{-4,1-1} = -4,1x^{-5,1}$.
Ответ: $y' = -4,1x^{-5,1}$.

8) Исходная функция: $y = \sqrt[9]{x}$.
Перепишем функцию в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{1}{9}}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=\frac{1}{9}$.
$y' = (x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9} \cdot x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-\frac{9}{9}} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$.

9) Исходная функция: $y = \sqrt[8]{x^7}$.
Перепишем функцию в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{7}{8}}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=\frac{7}{8}$.
$y' = (x^{\frac{7}{8}})' = \frac{7}{8} \cdot x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-\frac{8}{8}} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$.
Ответ: $y' = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$.

10) Исходная функция: $y = \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{-\frac{3}{5}}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-\frac{3}{5}$.
$y' = (x^{-\frac{3}{5}})' = -\frac{3}{5} \cdot x^{-\frac{3}{5}-1} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{3}{5}-\frac{5}{5}} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.