Номер 269, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 4x + 5$, $x_0 = -3$, $\Delta x = 0,2;$

2) $f(x) = 3 - 2x^2$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,3;$

3) $f(x) = \text{tg } x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$, $\Delta x = \frac{\pi}{12}$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ — это разность между значением функции в точке $x_0 + \Delta x$ и значением функции в точке $x_0$. Оно вычисляется по формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1) Дано: $f(x) = 4x + 5$, $x_0 = -3$, $\Delta x = 0,2$.

1. Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + \Delta x = -3 + 0,2 = -2,8$.

2. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-3) = 4 \cdot (-3) + 5 = -12 + 5 = -7$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(-2,8) = 4 \cdot (-2,8) + 5 = -11,2 + 5 = -6,2$.

4. Вычислим приращение функции:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -6,2 - (-7) = -6,2 + 7 = 0,8$.

Ответ: $0,8$.

2) Дано: $f(x) = 3 - 2x^2$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,3$.

1. Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + \Delta x = 2 + 0,3 = 2,3$.

2. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:

$f(x_0) = f(2) = 3 - 2 \cdot 2^2 = 3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(2,3) = 3 - 2 \cdot (2,3)^2 = 3 - 2 \cdot 5,29 = 3 - 10,58 = -7,58$.

4. Вычислим приращение функции:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -7,58 - (-5) = -7,58 + 5 = -2,58$.

Ответ: $-2,58$.

3) Дано: $f(x) = \operatorname{tg} x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$, $\Delta x = \frac{\pi}{12}$.

1. Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + \Delta x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

2. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(\frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$.

4. Вычислим приращение функции:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.