Номер 262, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. Сколько корней уравнения $ \text{tg } 2x \cos 3x + \sin 3x + \sqrt{2} \sin 5x = 0 $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right] $?

1. Упрощение уравнения и нахождение ОДЗ

Исходное уравнение: $tg(2x)cos(3x) + sin(3x) + \sqrt{2}sin(5x) = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса $tg(2x)$, то есть $cos(2x) \neq 0$. Отсюда получаем ограничение на $x$: $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение. Заменим $tg(2x)$ на $\frac{sin(2x)}{cos(2x)}$ и умножим обе части уравнения на $cos(2x)$ (что возможно в силу ОДЗ):

$sin(2x)cos(3x) + sin(3x)cos(2x) + \sqrt{2}sin(5x)cos(2x) = 0$.

Применим формулу синуса суммы $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$ к первым двум слагаемым:

$sin(2x+3x) + \sqrt{2}sin(5x)cos(2x) = 0$,

$sin(5x) + \sqrt{2}sin(5x)cos(2x) = 0$.

Вынесем общий множитель $sin(5x)$ за скобки:

$sin(5x)(1 + \sqrt{2}cos(2x)) = 0$.

2. Решение полученного уравнения

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

а) $sin(5x) = 0$. Решение: $5x = \pi n$, что дает первую серию корней $x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $1 + \sqrt{2}cos(2x) = 0$. Отсюда $cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение: $2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, что дает вторую серию корней $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Все полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

3. Отбор корней на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$

Найдем, сколько корней из каждой серии принадлежит заданному промежутку.

Для серии $x = \frac{\pi n}{5}$ решим двойное неравенство: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi n}{5} \le \frac{\pi}{3}$.

Последовательно деля на $\pi$ и умножая на 5, получаем: $-\frac{5}{4} \le n \le \frac{5}{3}$, или $-1.25 \le n \le 1.66...$.

Этому условию удовлетворяют целые значения $n \in \{-1, 0, 1\}$. Они дают три корня: $x_1 = -\frac{\pi}{5}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \frac{\pi}{5}$.

Для серии $x = \frac{3\pi}{8} + \pi m$ решим неравенство $-\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{8} + \pi m \le \frac{\pi}{3}$. Это приводит к неравенству для $m$: $-\frac{5}{8} \le m \le -\frac{1}{24}$. В этом интервале нет целых значений $m$.

Для серии $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi m$ решим неравенство $-\frac{\pi}{4} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi m \le \frac{\pi}{3}$. Это приводит к неравенству для $m$: $\frac{1}{8} \le m \le \frac{17}{24}$. В этом интервале также нет целых значений $m$.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет ровно 3 корня.

Ответ: 3