Номер 261, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 6x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2\cos x.$

1) Исходное уравнение:
$$ \frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 6x} = 0 $$Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:$$ \cos 2x + \cos 6x \neq 0 $$Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:$$ \sin 2x + \sin 6x = 0 $$Для преобразования уравнения воспользуемся формулами суммы тригонометрических функций:$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$Применив эти формулы, получаем:Числитель: $ \sin 2x + \sin 6x = 2 \sin\left(\frac{2x+6x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) = 2 \sin(4x) \cos(2x) $
Знаменатель: $ \cos 2x + \cos 6x = 2 \cos\left(\frac{2x+6x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) = 2 \cos(4x) \cos(2x) $
Уравнение эквивалентно системе:$$ \begin{cases} 2 \sin(4x) \cos(2x) = 0 \\ 2 \cos(4x) \cos(2x) \neq 0 \end{cases} $$Из второго условия системы следует, что $ \cos(4x) \neq 0 $ и $ \cos(2x) \neq 0 $. Из первого уравнения системы следует, что $ \sin(4x) = 0 $ или $ \cos(2x) = 0 $. Поскольку по ОДЗ $ \cos(2x) \neq 0 $, то остается только одно условие:$$ \sin(4x) = 0 $$Решения этого уравнения:$$ 4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$$$ x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти решения условиям ОДЗ ($ \cos(4x) \neq 0 $ и $ \cos(2x) \neq 0 $).
Проверяем $ \cos(4x) $:$$ \cos\left(4 \cdot \frac{\pi n}{4}\right) = \cos(\pi n) = (-1)^n $$Это значение никогда не равно нулю, так что условие $ \cos(4x) \neq 0 $ выполняется для всех целых $n$.
Проверяем $ \cos(2x) $:$$ \cos\left(2 \cdot \frac{\pi n}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) $$Это выражение равно нулю, если $n$ — нечетное число ($n = 2k+1$). Такие значения $n$ необходимо исключить. Следовательно, $n$ должно быть четным числом. Пусть $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Подставляем $ n = 2k $ в решение для $x$:$$ x = \frac{\pi (2k)}{4} = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение:
$$ \frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2\cos x $$Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием:$$ 1 - \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 $$$$ x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$Преобразуем уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:$$ \frac{2 \sin x \cos x}{1 - \sin x} = 2\cos x $$Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:$$ \frac{2 \sin x \cos x}{1 - \sin x} - 2\cos x = 0 $$$$ 2\cos x \left( \frac{\sin x}{1 - \sin x} - 1 \right) = 0 $$$$ 2\cos x \left( \frac{\sin x - (1 - \sin x)}{1 - \sin x} \right) = 0 $$$$ \frac{2\cos x (2\sin x - 1)}{1 - \sin x} = 0 $$Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель отличен от нуля, что учтено в ОДЗ).$$ 2\cos x (2\sin x - 1) = 0 $$Это уравнение распадается на два случая:
1) $ \cos x = 0 $
2) $ 2\sin x - 1 = 0 $
Рассмотрим первый случай: $ \cos x = 0 $. Его решения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($ \sin x \neq 1 $).
Если $n$ — четное, $ n = 2k $, то $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $. В этом случае $ \sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1 $. Эти корни не входят в ОДЗ и должны быть исключены.
Если $n$ — нечетное, $ n = 2k+1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k+1) $. В этом случае $ \sin x = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $, что удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, из первого случая получаем серию решений: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим второй случай: $ 2\sin x - 1 = 0 $.$$ \sin x = \frac{1}{2} $$Это значение удовлетворяет ОДЗ ($ \sin x \neq 1 $).
Решения этого уравнения:$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$$$ x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$Эти две серии можно объединить одной формулой: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.