Номер 258, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. Решите уравнение:

1) $\sin 3x + \cos 2x = 0;$

2) $\sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = 1;$

3) $\sin 3x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x;$

4) $\cos x + \cos 5x = \cos 3x + \cos 7x.$

1) $ \sin3x + \cos2x = 0 $

Воспользуемся формулой приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы привести уравнение к одному наименованию функции.

$ \sin3x + \sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $.

$ 2\sin(\frac{3x + \frac{\pi}{2} - 2x}{2})\cos(\frac{3x - (\frac{\pi}{2} - 2x)}{2}) = 0 $

$ 2\sin(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{2})\cos(\frac{5x - \frac{\pi}{2}}{2}) = 0 $

$ \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $ \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) = 0 $

$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + n\pi $

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0 $

$ \frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi $

$ \frac{5x}{2} = \frac{3\pi}{4} + n\pi $

$ 5x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi $

$ x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2n\pi}{5} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2n\pi}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin(\frac{\pi}{4} + x) - \cos(\frac{\pi}{4} + x) = 1 $

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Уравнение имеет вид $ a\sin\alpha - b\cos\alpha = c $, где $ a=1, b=1 $.

Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\pi}{4} + x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\pi}{4} + x)) = 1 $

Заменим $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \cos\frac{\pi}{4} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} $ соответственно.

$ \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4} + x) - \sin\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{4} + x)) = 1 $

Выражение в скобках является синусом разности $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

$ \sqrt{2}\sin((\frac{\pi}{4} + x) - \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \sqrt{2}\sin x = 1 $

$ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения:

$ x = n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) $

$ x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

3) $ \sin3x + \sin x = \sqrt{2}\sin2x $

Применим к левой части формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $.

$ 2\sin(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) = \sqrt{2}\sin2x $

$ 2\sin2x\cos x = \sqrt{2}\sin2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки.

$ 2\sin2x\cos x - \sqrt{2}\sin2x = 0 $

$ \sin2x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \sin2x = 0 $

$ 2x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{n\pi}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\cos x - \sqrt{2} = 0 $

$ 2\cos x = \sqrt{2} $

$ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{n\pi}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $

4) $ \cos x + \cos5x = \cos3x + \cos7x $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $ к обеим частям уравнения.

$ \cos5x + \cos x = \cos7x + \cos3x $

$ 2\cos(\frac{5x+x}{2})\cos(\frac{5x-x}{2}) = 2\cos(\frac{7x+3x}{2})\cos(\frac{7x-3x}{2}) $

$ 2\cos3x\cos2x = 2\cos5x\cos2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки.

$ 2\cos3x\cos2x - 2\cos5x\cos2x = 0 $

$ 2\cos2x(\cos3x - \cos5x) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos3x - \cos5x = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) $.

$ -2\sin(\frac{3x+5x}{2})\sin(\frac{3x-5x}{2}) = 0 $

$ -2\sin(4x)\sin(-x) = 0 $

$ 2\sin(4x)\sin x = 0 $

Это дает еще два случая:

а) $ \sin x = 0 \implies x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin4x = 0 \implies 4x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь объединим все полученные решения: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} $, $ x = n\pi $ и $ x = \frac{n\pi}{4} $.

Заметим, что первая серия решений $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} = \frac{(2n+1)\pi}{4} $ (нечетные кратные $ \frac{\pi}{4} $) и вторая серия $ x = n\pi = \frac{4n\pi}{4} $ (кратные $ \frac{\pi}{4} $ с коэффициентом, делящимся на 4) являются подмножествами третьей серии $ x = \frac{n\pi}{4} $, которая включает все целые кратные $ \frac{\pi}{4} $.

Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{n\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $