Номер 252, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1) $6\sin^2 \frac{x}{2} - 7\sin x + 8\cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$:

$6\sin^2 \frac{x}{2} - 7\left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right) + 8\cos^2 \frac{x}{2} = 0$

$6\sin^2 \frac{x}{2} - 14\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + 8\cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos\frac{x}{2} = 0$ решением. Если $\cos\frac{x}{2} = 0$, то $\sin^2\frac{x}{2} = 1$. Подставив в уравнение, получим $6 \cdot 1 - 0 + 0 = 6 \neq 0$. Значит, $\cos\frac{x}{2} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{2}$:

$\frac{6\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} - \frac{14\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{8\cos^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = 0$

$6\tan^2 \frac{x}{2} - 14\tan\frac{x}{2} + 8 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$3\tan^2 \frac{x}{2} - 7\tan\frac{x}{2} + 4 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{2}$. Получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 7t + 4 = 0$

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

$t_1 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Возвращаемся к замене:

1) $\tan\frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan\frac{x}{2} = \frac{4}{3} \implies \frac{x}{2} = \arctan\frac{4}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = 2\arctan\frac{4}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\arctan\frac{4}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $4\cos^2 3x + \sin 6x = 3$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 3x + \cos^2 3x$:

$4\cos^2 3x + 2\sin 3x \cos 3x = 3(\sin^2 3x + \cos^2 3x)$

$4\cos^2 3x + 2\sin 3x \cos 3x = 3\sin^2 3x + 3\cos^2 3x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\cos^2 3x + 2\sin 3x \cos 3x - 3\sin^2 3x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $\cos^2 3x \neq 0$ (случай $\cos 3x = 0$ не является решением, так как тогда $ -3\sin^2 3x = -3 \neq 0$):

$1 + 2\tan 3x - 3\tan^2 3x = 0$

$3\tan^2 3x - 2\tan 3x - 1 = 0$

Пусть $t = \tan 3x$:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$

Возвращаемся к замене:

1) $\tan 3x = 1 \implies 3x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan 3x = -\frac{1}{3} \implies 3x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{1}{3}\arctan(-\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$ или $x = -\frac{1}{3}\arctan\frac{1}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{3}\arctan\frac{1}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $3\cos^2 2x + \sin 4x = 3$

Аналогично предыдущему заданию, используем $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$ и $3 = 3(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$:

$3\cos^2 2x + 2\sin 2x \cos 2x = 3\sin^2 2x + 3\cos^2 2x$

$2\sin 2x \cos 2x - 3\sin^2 2x = 0$

Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (2\cos 2x - 3\sin 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos 2x - 3\sin 2x = 0 \implies 2\cos 2x = 3\sin 2x$. Разделим на $\cos 2x \neq 0$: $2 = 3\tan 2x \implies \tan 2x = \frac{2}{3}$.

$2x = \arctan\frac{2}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{1}{2}\arctan\frac{2}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\arctan\frac{2}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\cos x + 2\sin x}{3\sin x - \cos x} = \frac{1}{3}$

Область допустимых значений: $3\sin x - \cos x \neq 0$.

Воспользуемся свойством пропорции:

$3(\cos x + 2\sin x) = 1(3\sin x - \cos x)$

$3\cos x + 6\sin x = 3\sin x - \cos x$

Сгруппируем слагаемые:

$3\cos x + \cos x = 3\sin x - 6\sin x$

$4\cos x = -3\sin x$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$ (если $\cos x=0$, то и $\sin x=0$, что невозможно):

$4 = -3\frac{\sin x}{\cos x}$

$4 = -3\tan x \implies \tan x = -\frac{4}{3}$

Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\tan x = -\frac{4}{3} \neq \frac{1}{3}$.

$x = \arctan(-\frac{4}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ или $x = -\arctan\frac{4}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\frac{4}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $1 + \cos 4x - \sin 4x = 0$

Применим формулы $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$ и $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$. Для нашего случая $\alpha = 2x$:

$(1 + \cos 4x) - \sin 4x = 0$

$2\cos^2 2x - 2\sin 2x \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos 2x$ за скобки:

$2\cos 2x (\cos 2x - \sin 2x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 2x - \sin 2x = 0 \implies \cos 2x = \sin 2x$. Разделим на $\cos 2x \neq 0$: $1 = \tan 2x$.

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

6) $4\sin 5x + 3\cos 5x = 4$

Используем универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan\frac{5x}{2}$. Тогда $\sin 5x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 5x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

$4\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 3\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 4$

Умножим обе части на $1+t^2$ (это выражение всегда $> 0$):

$8t + 3(1-t^2) = 4(1+t^2)$

$8t + 3 - 3t^2 = 4 + 4t^2$

Перенесем все в правую часть:

$7t^2 - 8t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 = 6^2$.

$t_1 = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

$t_2 = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Возвращаемся к замене:

1) $\tan\frac{5x}{2} = 1 \implies \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan\frac{5x}{2} = \frac{1}{7} \implies \frac{5x}{2} = \arctan\frac{1}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies 5x = 2\arctan\frac{1}{7} + 2\pi k \implies x = \frac{2}{5}\arctan\frac{1}{7} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2}{5}\arctan\frac{1}{7} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.