Номер 247, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. Решите уравнение:

1) $arctg x = -\frac{\pi}{4};$

2) $arccos(3 - x) = \frac{2\pi}{3};$

3) $arcsin(5x - 6) = \frac{\pi}{6}.$

1) $arctg x = -\frac{\pi}{4}$

По определению арктангенса, если $arctg x = a$, то $x = tg a$. При этом значение $a$ должно принадлежать интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

В данном случае $a = -\frac{\pi}{4}$, и это значение входит в указанный интервал: $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы можем найти $x$, взяв тангенс от обеих частей уравнения:

$x = tg(-\frac{\pi}{4})$

Так как тангенс — нечетная функция, $tg(-a) = -tg(a)$.

$x = -tg(\frac{\pi}{4})$

Известно, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

2) $arccos(3 - x) = \frac{2\pi}{3}$

По определению арккосинуса, если $arccos(y) = a$, то $y = cos a$. При этом значение $a$ должно принадлежать отрезку $[0; \pi]$, а значение $y$ — отрезку $[-1; 1]$.

В данном уравнении $a = \frac{2\pi}{3}$, и это значение входит в отрезок $[0; \pi]$, так как $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$.

Возьмем косинус от обеих частей уравнения:

$3 - x = cos(\frac{2\pi}{3})$

Найдем значение $cos(\frac{2\pi}{3})$:

$cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$3 - x = -\frac{1}{2}$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$-x = -\frac{1}{2} - 3$

$-x = -\frac{1}{2} - \frac{6}{2}$

$-x = -\frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{2}$ или $x = 3.5$.

Проверим, что аргумент арккосинуса $(3-x)$ находится в допустимом диапазоне $[-1; 1]$. При $x = \frac{7}{2}$, получаем $3 - \frac{7}{2} = \frac{6}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}$. Значение $-\frac{1}{2}$ входит в отрезок $[-1; 1]$, следовательно, решение верно.

Ответ: $x = \frac{7}{2}$.

3) $arcsin(5x - 6) = \frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $arcsin(y) = a$, то $y = sin a$. При этом значение $a$ должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, а значение $y$ — отрезку $[-1; 1]$.

В данном уравнении $a = \frac{\pi}{6}$, и это значение входит в отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$5x - 6 = sin(\frac{\pi}{6})$

Известно, что $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$5x - 6 = \frac{1}{2}$

Решим полученное линейное уравнение:

$5x = \frac{1}{2} + 6$

$5x = \frac{1}{2} + \frac{12}{2}$

$5x = \frac{13}{2}$

$x = \frac{13}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10}$ или $x = 1.3$.

Проверим, что аргумент арксинуса $(5x - 6)$ находится в допустимом диапазоне $[-1; 1]$. При $x = \frac{13}{10}$, получаем $5 \cdot \frac{13}{10} - 6 = \frac{13}{2} - 6 = \frac{13}{2} - \frac{12}{2} = \frac{1}{2}$. Значение $\frac{1}{2}$ входит в отрезок $[-1; 1]$, следовательно, решение верно.

Ответ: $x = \frac{13}{10}$.