Номер 253, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

253. Решите уравнение:

1) $12\cos^2 \frac{x}{2} = 9 - 4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$;

2) $\sin 2x - 4(\sin x - \cos x) + 4 = 0$;

3) $\sqrt{13 - 12\operatorname{tg} x} = 2\operatorname{tg} x - 1$;

4) $\sqrt{-\cos 2x} = \sin x$.

1) $12\cos^2\frac{x}{2} = 9 - 4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$

Преобразуем уравнение. Воспользуемся формулой для косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $y = \frac{x}{2}$. Тогда уравнение примет вид:

$12\cos^2y = 9 - 4\cos y \cos(3y)$

Подставим формулу для $\cos(3y)$:

$12\cos^2y = 9 - 4\cos y (4\cos^3y - 3\cos y)$

$12\cos^2y = 9 - 16\cos^4y + 12\cos^2y$

Сократим $12\cos^2y$ с обеих сторон:

$0 = 9 - 16\cos^4y$

$16\cos^4y = 9$

$\cos^4y = \frac{9}{16}$

Извлечем квадратный корень:

$\cos^2y = \frac{3}{4}$ (так как $\cos^2y$ не может быть отрицательным)

Еще раз извлечем квадратный корень:

$\cos y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Вернемся к переменной $x$, где $y = \frac{x}{2}$:

$\cos\frac{x}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся формулой понижения степени $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.

$\cos x = 2\left(\frac{3}{4}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$:

$x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x - 4(\sin x - \cos x) + 4 = 0$

Введем замену: пусть $t = \sin x - \cos x$.

Возведем обе части в квадрат:

$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2x - 2\sin x \cos x + \cos^2x$

$t^2 = (\sin^2x + \cos^2x) - 2\sin x \cos x$

$t^2 = 1 - \sin 2x$

Отсюда выразим $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - t^2$

Подставим замену в исходное уравнение:

$(1 - t^2) - 4t + 4 = 0$

$-t^2 - 4t + 5 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x - \cos x = 1$

Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = 1$

$\sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда получаем две серии решений:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\sin x - \cos x = -5$

Область значений выражения $\sin x - \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $-5$ не принадлежит этому отрезку, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{13 - 12\tg x} = 2\tg x - 1$

Данное иррациональное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2\tg x - 1 \ge 0 \\ 13 - 12\tg x = (2\tg x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $\tg x \ge \frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение. Пусть $t = \tg x$.

$13 - 12t = (2t - 1)^2$

$13 - 12t = 4t^2 - 4t + 1$

$4t^2 + 8t - 12 = 0$

Разделим на 4:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения:

$t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge \frac{1}{2}$.

$t_1 = 1$. Условие $1 \ge \frac{1}{2}$ выполняется. Это подходящий корень.

$t_2 = -3$. Условие $-3 \ge \frac{1}{2}$ не выполняется. Это посторонний корень.

Таким образом, единственное решение для $t$ это $t = 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$\tg x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{-\cos 2x} = \sin x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x \ge 0 \\ -\cos 2x = (\sin x)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение. Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$.

$-(1 - 2\sin^2x) = \sin^2x$

$-1 + 2\sin^2x = \sin^2x$

$\sin^2x = 1$

$\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Теперь учтем первое условие системы: $\sin x \ge 0$.

Решение $\sin x = -1$ не удовлетворяет этому условию, поэтому оно является посторонним.

Остается единственное решение $\sin x = 1$.

Проверим также, что подкоренное выражение $-\cos 2x$ неотрицательно. Если $\sin x = 1$, то $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x = 1 - 2(1)^2 = -1$. Тогда $-\cos 2x = -(-1) = 1 \ge 0$. Условие выполняется.

Найдем $x$ из уравнения $\sin x = 1$:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.