Номер 249, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 4x + \cos 4x - 1 = 0;$

2) $5\sin^2 \frac{x}{3} - 6\sin \frac{x}{3} + 1 = 0;$

3) $3\text{tg}^2 2x - 1 = 0;$

4) $\text{ctg}^2 \frac{x}{5} + 3\text{ctg} \frac{x}{5} - 4 = 0.$

1) $2\cos^2 4x + \cos 4x - 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos 4x$. Введем замену переменной: пусть $y = \cos 4x$. Тогда уравнение примет вид:

$2y^2 + y - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1-3}{4} = -1$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\cos 4x = \frac{1}{2}$.

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения имеют вид: $4x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos 4x = -1$.

Это частный случай, решения которого: $4x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $5\sin^2 \frac{x}{3} - 6\sin \frac{x}{3} + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin \frac{x}{3}$. Введем замену переменной: пусть $y = \sin \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид:

$5y^2 - 6y + 1 = 0$

Найдем корни. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

Корни: $y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6+4}{10} = 1$ и $y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6-4}{10} = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\sin \frac{x}{3} = 1$.

Это частный случай, решение: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin \frac{x}{3} = \frac{1}{5}$.

Общее решение: $\frac{x}{3} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = 3(-1)^k \arcsin(\frac{1}{5}) + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}; x = 3(-1)^k \arcsin(\frac{1}{5}) + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $3\operatorname{tg}^2 2x - 1 = 0$

Выразим $\operatorname{tg}^2 2x$ из уравнения:

$3\operatorname{tg}^2 2x = 1$

$\operatorname{tg}^2 2x = \frac{1}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\operatorname{tg} 2x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Это уравнение распадается на два:

1) $\operatorname{tg} 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Решение: $2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Решение: $2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, откуда $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\operatorname{ctg}^2 \frac{x}{5} + 3\operatorname{ctg} \frac{x}{5} - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{ctg} \frac{x}{5}$. Введем замену: пусть $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{5}$.

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Найдем корни, используя теорему Виета: $y_1 \cdot y_2 = -4$ и $y_1 + y_2 = -3$. Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\operatorname{ctg} \frac{x}{5} = 1$.

Решение: $\frac{x}{5} = \operatorname{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{5} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\operatorname{ctg} \frac{x}{5} = -4$.

Решение: $\frac{x}{5} = \operatorname{arcctg}(-4) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = 5\operatorname{arcctg}(-4) + 5\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n, n \in \mathbb{Z}; x = 5\operatorname{arcctg}(-4) + 5\pi k, k \in \mathbb{Z}$.