Номер 243, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Вычислите:

1) $ \text{ctg} \left( \text{arcsin} \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $;

2) $ \text{sin} (2 \text{ arctg} (-1)) $;

3) $ \text{tg} \left( 2\text{arctg} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \text{arcsin} \frac{1}{2} \right) $;

4) $ \text{cos} \left( \text{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \text{arccos} \left( -\frac{1}{2} \right) + \text{arctg } 1 \right) $.

1) $ \operatorname{ctg}\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $

Сначала найдем значение выражения в скобках. По определению арксинуса:

$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

2) $ \sin(2 \operatorname{arctg}(-1)) $

Найдем значение арктангенса:

$ \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $, так как $ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 $ и $ -\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

Подставим это значение в выражение:

$ \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:

$ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $.

Ответ: -1

3) $ \operatorname{tg}\left(2\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \arcsin\frac{1}{2}\right) $

Вычислим значения обратных тригонометрических функций по отдельности.

$ \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ -\frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

$ \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $.

Теперь подставим найденные значения в аргумент тангенса:

$ 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} $.

Осталось вычислить тангенс от этого угла:

$ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

4) $ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \operatorname{arctg}1\right) $

Найдем значения каждого слагаемого в скобках.

$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

$ \operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \cos\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) $.

Упростим выражение в скобках:

$ -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} $.

Теперь вычислим косинус:

$ \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) $, так как косинус - четная функция.

$ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $