Номер 236, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Определите количество корней уравнения $ \sin 4x = a $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}\right] $ в зависимости от значения $ a $.

Для решения этой задачи выполним замену переменной и проанализируем получившуюся функцию на заданном промежутке.

1. Замена переменной.

Пусть $t = 4x$. Исходное уравнение примет вид $\sin t = a$.

2. Определение нового промежутка.

Необходимо найти, в каком промежутке находится переменная $t$, если $x$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}\right]$.

Для левой границы: если $x = -\frac{\pi}{4}$, то $t = 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\pi$.

Для правой границы: если $x = \frac{\pi}{8}$, то $t = 4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, наша задача сводится к нахождению количества корней уравнения $\sin t = a$ на промежутке $t \in \left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

3. Анализ функции $y = \sin t$ на промежутке $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = \sin t$ и горизонтальной прямой $y = a$ на указанном промежутке.

Исследуем поведение функции $y = \sin t$ на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$:

• На промежутке $\left[-\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ функция $\sin t$ монотонно убывает от $\sin(-\pi)=0$ до $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$.
• На промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ функция $\sin t$ монотонно возрастает от $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$ до $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.

4. Определение количества корней в зависимости от $a$.

Рассмотрим различные значения параметра $a$:

• Если $a < -1$ или $a > 1$ ($|a| > 1$):
  Прямая $y=a$ не пересекает график функции $y = \sin t$, так как область значений синуса $[-1, 1]$. В этом случае корней нет.
• Если $a = 1$:
  Прямая $y=1$ имеет с графиком одну общую точку $t = \frac{\pi}{2}$, которая является концом нашего промежутка. Уравнение имеет один корень.
• Если $0 < a < 1$:
  Прямая $y=a$ пересекает график функции только на участке возрастания $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Уравнение имеет один корень.
• Если $a = 0$:
  Прямая $y=0$ пересекает график в двух точках: $t=-\pi$ и $t=0$. Обе точки принадлежат промежутку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$. Уравнение имеет два корня.
• Если $-1 < a < 0$:
  Прямая $y=a$ пересекает график на участке убывания $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$ в одной точке и на участке возрастания $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ в одной точке. Уравнение имеет два корня.
• Если $a = -1$:
  Прямая $y=-1$ имеет с графиком одну общую точку $t = -\frac{\pi}{2}$, которая принадлежит промежутку. Уравнение имеет один корень.

Итоговое заключение:

Объединим полученные результаты:

• Нет корней: при $a < -1$ или $a > 1$.
• Один корень: при $a = -1$, а также при $0 < a \le 1$.
• Два корня: при $-1 < a \le 0$.

Ответ:

если $a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, то корней нет;

если $a = -1$ или $a \in (0; 1]$, то 1 корень;

если $a \in (-1; 0]$, то 2 корня.