Номер 234, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{3\pi x}{7} = 0;$

2) $\sin(4\pi\sqrt{x}) = 1;$

3) $\sin \frac{4\pi x^2}{9} = -1.$

1) Решим уравнение $sin(\frac{3\pi x}{7}) = 0$.
Уравнение вида $sin(t) = 0$ имеет решение $t = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $t = \frac{3\pi x}{7}$, поэтому получаем:
$\frac{3\pi x}{7} = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на $\frac{7}{3}$:
$\frac{3x}{7} = k$
$3x = 7k$
$x = \frac{7k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{7k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $sin(4\pi\sqrt{x}) = 1$.
Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку под корнем может стоять только неотрицательное число, должно выполняться условие $x \ge 0$.
Уравнение вида $sin(t) = 1$ имеет решение $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Применим это к нашему уравнению, где $t = 4\pi\sqrt{x}$:
$4\pi\sqrt{x} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на $\pi$:
$4\sqrt{x} = \frac{1}{2} + 2k$.
Разделим обе части на 4:
$\sqrt{x} = \frac{1}{8} + \frac{k}{2} = \frac{1+4k}{8}$.
Поскольку $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, то $\frac{1+4k}{8} \ge 0$. Это неравенство равносильно $1+4k \ge 0$, откуда $4k \ge -1$ и $k \ge -\frac{1}{4}$. Так как $k$ — целое число, то $k$ может быть $0, 1, 2, ...$, то есть $k$ — любое неотрицательное целое число.
Наконец, возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = \left(\frac{1+4k}{8}\right)^2 = \frac{(1+4k)^2}{64}$.
Ответ: $x = \frac{(1+4k)^2}{64}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

3) Решим уравнение $sin(\frac{4\pi x^2}{9}) = -1$.
Уравнение вида $sin(t) = -1$ имеет решение $t = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (или, что то же самое, $t = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$), где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{4\pi x^2}{9}$:
$\frac{4\pi x^2}{9} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{4x^2}{9} = -\frac{1}{2} + 2k$.
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{9}{4}\left(-\frac{1}{2} + 2k\right) = \frac{9(4k-1)}{8}$.
Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $\frac{9(4k-1)}{8} \ge 0$, что равносильно $4k-1 \ge 0$. Отсюда $4k \ge 1$ и $k \ge \frac{1}{4}$. Так как $k$ — целое число, оно может принимать значения $1, 2, 3, ...$, то есть $k$ — любое натуральное число.
Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{9(4k-1)}{8}} = \pm 3\sqrt{\frac{4k-1}{8}}$.
Ответ: $x = \pm 3\sqrt{\frac{4k-1}{8}}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.