Номер 238, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Решите уравнение:

1) $tg 5x = 0;$

2) $tg \left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) = -1;$

3) $6 tg \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 7 = 0;$

4) $ctg 11x = -1;$

5) $ctg \left(\frac{\pi}{6} - 8x\right) = 0;$

6) $3 ctg \left(6x - \frac{\pi}{3}\right) - 10 = 0.$

1) Решим уравнение $\operatorname{tg}(5x) = 0$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{tg}(a) = 0$ — это $a = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
В данном случае $a = 5x$, поэтому мы можем записать:
$5x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3} - 4x) = -1$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{tg}(a) = b$ — это $a = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\pi}{3} - 4x$ и $b = -1$. Значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$.
Подставляем значения в формулу:
$\frac{\pi}{3} - 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$-4x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-4x = -\frac{3\pi + 4\pi}{12} + \pi n$
$-4x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$
Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от знака минус перед $4x$:
$4x = \frac{7\pi}{12} - \pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{7\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{7\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $6\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4}) - 7 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4})$:
$6\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4}) = 7$
$\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{7}{6}$
Используем общую формулу решения $a = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$, где $a = 2x - \frac{\pi}{4}$ и $b = \frac{7}{6}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$2x = \frac{\pi}{4} + \operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\operatorname{ctg}(11x) = -1$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{ctg}(a) = b$ — это $a = \operatorname{arcctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 11x$ и $b = -1$. Значение арккотангенса от -1 равно $\frac{3\pi}{4}$.
Подставляем значения в формулу:
$11x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 11, чтобы найти $x$:
$x = \frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6} - 8x) = 0$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{ctg}(a) = 0$ — это $a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\pi}{6} - 8x$.
$\frac{\pi}{6} - 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$-8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$-8x = \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n$
$-8x = \frac{2\pi}{6} + \pi n$
$-8x = \frac{\pi}{3} + \pi n$
Разделим обе части на -8:
$x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $3\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3}) - 10 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3})$:
$3\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3}) = 10$
$\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3}) = \frac{10}{3}$
Используем общую формулу решения $a = \operatorname{arcctg}(b) + \pi n$, где $a = 6x - \frac{\pi}{3}$ и $b = \frac{10}{3}$.
$6x - \frac{\pi}{3} = \operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$6x = \frac{\pi}{3} + \operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.