Номер 231, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Решите уравнение:

1) $ \sin 9x = 1 $

2) $ \sin \frac{3x}{8} = 0 $

3) $ \sin \left(5x - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $

4) $ 2\sin \left(4x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0 $

5) $ \sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0 $

6) $ 6\sin(2x - 5) - 5 = 0 $

7) $ \sin(8x - 4) = \pi $

8) $ \sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8} $

1) $\sin(9x) = 1$
Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.
$9x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 9, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(\frac{3x}{8}) = 0$
Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.
$\frac{3x}{8} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на $\frac{8}{3}$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{8\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{8\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

3) $\sin(5x - \frac{\pi}{4}) = -1$
Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.
$5x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$5x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$5x = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$5x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на 5:
$x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

4) $2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$
Сначала преобразуем уравнение:
$2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$
$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Используем общую формулу для синуса $\sin(t) = a \implies t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$:
$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$
$4x = (-1)^k \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

5) $\sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0$
Преобразуем уравнение:
$2\sin(8 - 3x) = -\sqrt{3}$
$\sin(8 - 3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем общую формулу $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$:
$8 - 3x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$8 - 3x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$
$8 - 3x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$
$-3x = -8 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$
$3x = 8 - (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} - \pi k$
$3x = 8 + (-1)^{k} \frac{\pi}{3} - \pi k$
$x = \frac{8}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{9} - \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{8}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{9} - \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

6) $6\sin(2x - 5) - 5 = 0$
Преобразуем уравнение:
$6\sin(2x - 5) = 5$
$\sin(2x - 5) = \frac{5}{6}$
Так как $|\frac{5}{6}| \le 1$, уравнение имеет решения.
$2x - 5 = (-1)^k \arcsin(\frac{5}{6}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$2x = 5 + (-1)^k \arcsin(\frac{5}{6}) + \pi k$
$x = \frac{5}{2} + \frac{(-1)^k}{2}\arcsin\frac{5}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5}{2} + \frac{(-1)^k}{2}\arcsin\frac{5}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

7) $\sin(8x - 4) = \pi$
Область значений функции синус $y = \sin(t)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
Значение $\pi \approx 3.14159...$
Так как $\pi > 1$, то данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: нет решений

8) $\sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8}$
Проверим значение в правой части: $\pi \approx 3.14$, поэтому $\frac{\pi}{8} \approx \frac{3.14}{8} \approx 0.3925$.
Так как $|\frac{\pi}{8}| \le 1$, уравнение имеет решения.
$7x - 2 = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$7x = 2 + (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$
$x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7}\arcsin\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7}\arcsin\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$