Номер 225, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Дано тригонометрическое уравнение:
$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого уравнения, сначала найдем общее решение для аргумента косинуса. Пусть $t = x+\frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение принимает вид $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для такого уравнения записывается как:
$t = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общее решение для $t$:
$t = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $x+\frac{\pi}{3}$ вместо $t$. Это дает нам две серии решений:
1) $x+\frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
2) $x+\frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Выразим $x$ из каждой серии:
1) $x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{9\pi - 4\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{-9\pi - 4\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого рассмотрим обе серии решений и подставим различные целые значения $n$, чтобы найти отрицательные корни $x<0$.

Для первой серии $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$:
- При $n=0$: $x = \frac{5\pi}{12}$. Это положительный корень.
- При $n=-1$: $x = \frac{5\pi}{12} - 2\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{12} = -\frac{19\pi}{12}$. Это отрицательный корень.
- При $n \le -2$ корни будут еще меньше (более отрицательными), чем $-\frac{19\pi}{12}$.

Для второй серии $x = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$:
- При $n=0$: $x = -\frac{13\pi}{12}$. Это отрицательный корень.
- При $n=1$: $x = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi = \frac{-13\pi + 24\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$. Это положительный корень.
- При $n \le -1$ корни будут еще меньше (более отрицательными), чем $-\frac{13\pi}{12}$.

Мы получили кандидатов на наибольший отрицательный корень: $-\frac{19\pi}{12}$ и $-\frac{13\pi}{12}$.
Чтобы найти наибольший из них, сравним эти два числа. На числовой прямой число, расположенное правее, является большим.
Так как $-13 > -19$, то $-\frac{13\pi}{12} > -\frac{19\pi}{12}$.
Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{13\pi}{12}$