Номер 221, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin \alpha \sin 7\alpha$;

2) $\cos \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}$;

3) $\sin 36^\circ \cos 24^\circ$;

4) $\sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{7\pi}{24}$;

5) $\cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta)$;

6) $\sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

1) Для преобразования произведения синусов в сумму используется формула $sin(x)sin(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) - cos(x+y))$.
В данном случае $x = \alpha$ и $y = 7\alpha$.
Подставляем значения в формулу:
$sin\alpha \ sin7\alpha = \frac{1}{2}(cos(\alpha - 7\alpha) - cos(\alpha + 7\alpha)) = \frac{1}{2}(cos(-6\alpha) - cos(8\alpha))$.
Так как косинус является четной функцией ($cos(-z) = cos(z)$), то $cos(-6\alpha) = cos(6\alpha)$.
Следовательно, выражение равно $\frac{1}{2}(cos(6\alpha) - cos(8\alpha)) = \frac{1}{2}cos(6\alpha) - \frac{1}{2}cos(8\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(6\alpha) - \frac{1}{2}cos(8\alpha)$.

2) Для преобразования произведения косинусов в сумму используется формула $cos(x)cos(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) + cos(x+y))$.
В данном случае $x = \frac{5\alpha}{2}$ и $y = \frac{3\alpha}{2}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos\frac{5\alpha}{2} \ cos\frac{3\alpha}{2} = \frac{1}{2}(cos(\frac{5\alpha}{2} - \frac{3\alpha}{2}) + cos(\frac{5\alpha}{2} + \frac{3\alpha}{2})) = \frac{1}{2}(cos(\frac{2\alpha}{2}) + cos(\frac{8\alpha}{2})) = \frac{1}{2}(cos(\alpha) + cos(4\alpha))$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}cos(4\alpha)$.

3) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используется формула $sin(x)cos(y) = \frac{1}{2}(sin(x+y) + sin(x-y))$.
В данном случае $x = 36°$ и $y = 24°$.
Подставляем значения в формулу:
$sin36° \ cos24° = \frac{1}{2}(sin(36°+24°) + sin(36°-24°)) = \frac{1}{2}(sin(60°) + sin(12°))$.
Поскольку $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + sin(12°)) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}sin(12°)$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}sin(12°)$.

4) Для преобразования произведения синусов в сумму используется формула $sin(x)sin(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) - cos(x+y))$.
В данном случае $x = \frac{11\pi}{24}$ и $y = \frac{7\pi}{24}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin\frac{11\pi}{24} \ sin\frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}(cos(\frac{11\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}) - cos(\frac{11\pi}{24} + \frac{7\pi}{24})) = \frac{1}{2}(cos(\frac{4\pi}{24}) - cos(\frac{18\pi}{24}))$.
Упрощаем дроби в аргументах: $\frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$ и $\frac{18\pi}{24} = \frac{3\pi}{4}$.
Выражение принимает вид: $\frac{1}{2}(cos(\frac{\pi}{6}) - cos(\frac{3\pi}{4}))$.
Находим значения косинусов: $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{3\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значения: $\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$.

5) Для преобразования произведения косинусов в сумму используется формула $cos(x)cos(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) + cos(x+y))$.
В данном случае $x = \alpha - \beta$ и $y = \alpha + \beta$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\alpha-\beta) \ cos(\alpha+\beta) = \frac{1}{2}(cos((\alpha-\beta) - (\alpha+\beta)) + cos((\alpha-\beta) + (\alpha+\beta)))$.
$= \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta - \alpha - \beta) + cos(\alpha - \beta + \alpha + \beta)) = \frac{1}{2}(cos(-2\beta) + cos(2\alpha))$.
Так как косинус является четной функцией, $cos(-2\beta) = cos(2\beta)$.
Получаем: $\frac{1}{2}(cos(2\beta) + cos(2\alpha)) = \frac{1}{2}cos(2\alpha) + \frac{1}{2}cos(2\beta)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(2\alpha) + \frac{1}{2}cos(2\beta)$.

6) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используется формула $sin(x)cos(y) = \frac{1}{2}(sin(x+y) + sin(x-y))$.
В данном случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6} - \alpha$.
Подставляем значения в формулу:
$sin\alpha \ cos(\frac{\pi}{6}-\alpha) = \frac{1}{2}(sin(\alpha + (\frac{\pi}{6}-\alpha)) + sin(\alpha - (\frac{\pi}{6}-\alpha)))$.
$= \frac{1}{2}(sin(\frac{\pi}{6}) + sin(\alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha)) = \frac{1}{2}(sin(\frac{\pi}{6}) + sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}))$.
Поскольку $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2} + sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2}sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})$.