Номер 219, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Упростите выражение:

1) $ \frac{(\sin 8\alpha - \sin 2\alpha)(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha)}{1 - \cos 6\alpha} $

2) $ \left(\frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha}\right) \cdot \frac{\sin 9\alpha + \sin 11\alpha}{\sin 2\alpha} $

3) $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2. $

1) Упростим выражение $ \frac{(\sin{8\alpha} - \sin{2\alpha})(\cos{2\alpha} - \cos{8\alpha})}{1 - \cos{6\alpha}} $.

Для преобразования числителя используем формулы разности синусов и разности косинусов:

$ \sin x - \sin y = 2\sin{\frac{x-y}{2}}\cos{\frac{x+y}{2}} $

$ \cos x - \cos y = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}} $

Применим эти формулы к множителям в числителе:

$ \sin{8\alpha} - \sin{2\alpha} = 2\sin{\frac{8\alpha-2\alpha}{2}}\cos{\frac{8\alpha+2\alpha}{2}} = 2\sin{3\alpha}\cos{5\alpha} $

$ \cos{2\alpha} - \cos{8\alpha} = -2\sin{\frac{2\alpha+8\alpha}{2}}\sin{\frac{2\alpha-8\alpha}{2}} = -2\sin{5\alpha}\sin{(-3\alpha)} = 2\sin{5\alpha}\sin{3\alpha} $ (так как $ \sin(-x) = -\sin x $)

Теперь числитель имеет вид:

$ (2\sin{3\alpha}\cos{5\alpha})(2\sin{5\alpha}\sin{3\alpha}) = 4\sin^2{3\alpha}\sin{5\alpha}\cos{5\alpha} $

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin{2x} = 2\sin x \cos x $, получаем:

$ 4\sin^2{3\alpha}\sin{5\alpha}\cos{5\alpha} = 2\sin^2{3\alpha}(2\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}) = 2\sin^2{3\alpha}\sin{10\alpha} $

Для преобразования знаменателя используем формулу понижения степени (или косинуса двойного угла $ \cos{2x} = 1 - 2\sin^2 x $):

$ 1 - \cos{6\alpha} = 2\sin^2{\frac{6\alpha}{2}} = 2\sin^2{3\alpha} $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{2\sin^2{3\alpha}\sin{10\alpha}}{2\sin^2{3\alpha}} $

Сокращаем $ 2\sin^2{3\alpha} $ (при условии, что $ \sin{3\alpha} \neq 0 $):

$ \sin{10\alpha} $

Ответ: $ \sin{10\alpha} $

2) Упростим выражение $ (\frac{\sin{3\alpha}}{\sin{5\alpha}} - \frac{\cos{3\alpha}}{\cos{5\alpha}}) \cdot \frac{\sin{9\alpha} + \sin{11\alpha}}{\sin{2\alpha}} $.

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin{3\alpha}}{\sin{5\alpha}} - \frac{\cos{3\alpha}}{\cos{5\alpha}} = \frac{\sin{3\alpha}\cos{5\alpha} - \cos{3\alpha}\sin{5\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \sin{3\alpha}\cos{5\alpha} - \cos{3\alpha}\sin{5\alpha} = \sin(3\alpha - 5\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin{2\alpha} $

Выражение в скобках принимает вид:

$ \frac{-\sin{2\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} $

Теперь преобразуем вторую дробь. Для числителя используем формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}} $:

$ \sin{9\alpha} + \sin{11\alpha} = 2\sin{\frac{9\alpha+11\alpha}{2}}\cos{\frac{9\alpha-11\alpha}{2}} = 2\sin{10\alpha}\cos(-\alpha) = 2\sin{10\alpha}\cos\alpha $

Вторая дробь принимает вид:

$ \frac{2\sin{10\alpha}\cos\alpha}{\sin{2\alpha}} $

Теперь перемножим преобразованные части:

$ \frac{-\sin{2\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} \cdot \frac{2\sin{10\alpha}\cos\alpha}{\sin{2\alpha}} $

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin{10\alpha} = 2\sin{5\alpha}\cos{5\alpha} $, подставим ее в выражение:

$ \frac{-\sin{2\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} \cdot \frac{2(2\sin{5\alpha}\cos{5\alpha})\cos\alpha}{\sin{2\alpha}} $

Сокращаем одинаковые множители $ \sin{2\alpha} $ и $ \sin{5\alpha}\cos{5\alpha} $ (при условии, что они не равны нулю):

$ -1 \cdot \frac{2 \cdot 2 \cdot \cos\alpha}{1} = -4\cos\alpha $

Ответ: $ -4\cos\alpha $

3) Упростим выражение $ (\cos{\alpha} - \cos{\beta})^2 + (\sin{\alpha} + \sin{\beta})^2 $.

Раскроем квадраты, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$ (\cos{\alpha} - \cos{\beta})^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta $

$ (\sin{\alpha} + \sin{\beta})^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta $

Сложим полученные выражения:

$ (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) + (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) $

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2\cos\alpha\cos\beta + 2\sin\alpha\sin\beta $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, получаем:

$ 1 + 1 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $

$ 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы $ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $:

$ 2 - 2\cos(\alpha+\beta) $

Можно продолжить упрощение, вынеся 2 за скобки и применив формулу $ 1 - \cos{2x} = 2\sin^2x $:

$ 2(1 - \cos(\alpha+\beta)) = 2 \cdot (2\sin^2{\frac{\alpha+\beta}{2}}) = 4\sin^2{\frac{\alpha+\beta}{2}} $

Ответ: $ 4\sin^2{\frac{\alpha+\beta}{2}} $ (или $ 2 - 2\cos(\alpha+\beta) $)