Номер 212, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 9\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\cos 9\alpha}{\cos 3\alpha}$;

2) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^4 \alpha}{4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2 \alpha}$;

3) $\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right)}{1 - 2\cos^2 4\alpha}$;

4) $\frac{\sin 8\alpha}{1 + \cos 8\alpha} \cdot \frac{\cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} \cdot \frac{\sin 4\alpha}{1 - \cos 4\alpha}$.

1) Приведем дроби $ \frac{\sin{9\alpha}}{\sin{3\alpha}} + \frac{\cos{9\alpha}}{\cos{3\alpha}} $ к общему знаменателю $ \sin{3\alpha}\cos{3\alpha} $:
$ \frac{\sin{9\alpha}\cos{3\alpha} + \cos{9\alpha}\sin{3\alpha}}{\sin{3\alpha}\cos{3\alpha}} $
В числителе используем формулу синуса суммы $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $, где $ A=9\alpha $ и $ B=3\alpha $:
$ \sin{9\alpha}\cos{3\alpha} + \cos{9\alpha}\sin{3\alpha} = \sin(9\alpha+3\alpha) = \sin(12\alpha) $
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $, из которой следует, что $ \sin A \cos A = \frac{1}{2}\sin(2A) $:
$ \sin{3\alpha}\cos{3\alpha} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha) $
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{\sin(12\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = 2 \frac{\sin(12\alpha)}{\sin(6\alpha)} $
Снова применим формулу синуса двойного угла для $ \sin(12\alpha) = \sin(2 \cdot 6\alpha) = 2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha) $:
$ 2 \frac{2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha)}{\sin(6\alpha)} = 4\cos(6\alpha) $
Ответ: $ 4\cos(6\alpha) $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin^2{2\alpha} + 4\sin^4{\alpha}}{4 - \sin^2{2\alpha} - 4\sin^2{\alpha}} $.
Преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ \sin^2{2\alpha} + 4\sin^4{\alpha} = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4\sin^4\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4\sin^4\alpha $
Вынесем общий множитель $ 4\sin^2\alpha $ за скобки:
$ 4\sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, получаем, что числитель равен:
$ 4\sin^2\alpha \cdot 1 = 4\sin^2\alpha $
Теперь преобразуем знаменатель:
$ 4 - \sin^2{2\alpha} - 4\sin^2{\alpha} = 4 - (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 - 4\sin^2\alpha = 4 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha $
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:
$ (4 - 4\sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $
Используя тождество $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $, получаем:
$ 4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(1 - \sin^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = 4\cos^4\alpha $
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{4\sin^2\alpha}{4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha} $
Ответ: $ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha} $

3) Рассмотрим выражение $ \frac{\text{tg}(\frac{5\pi}{4}-4\alpha)\sin^2(\frac{5\pi}{4}+4\alpha)}{1-2\cos^2(4\alpha)} $.
Упростим тригонометрические функции в числителе, используя формулы приведения.
$ \text{tg}(\frac{5\pi}{4}-4\alpha) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}-4\alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}-4\alpha) $, так как период тангенса равен $ \pi $.
$ \sin^2(\frac{5\pi}{4}+4\alpha) = \sin^2(\pi + \frac{\pi}{4}+4\alpha) = (-\sin(\frac{\pi}{4}+4\alpha))^2 = \sin^2(\frac{\pi}{4}+4\alpha) $.
Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 $:
$ 1-2\cos^2(4\alpha) = -(2\cos^2(4\alpha) - 1) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha) $.
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}-4\alpha)\sin^2(\frac{\pi}{4}+4\alpha)}{-\cos(8\alpha)} $
Преобразуем числитель. Пусть $ x = 4\alpha $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}x}{1+\text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1-\text{tg}x}{1+\text{tg}x} = \frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} $
$ \sin^2(\frac{\pi}{4}+x) = (\sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos\frac{\pi}{4}\sin x)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x))^2 = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x)^2 $
Перемножим части числителя:
$ \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \cdot \frac{1}{2}(\cos x + \sin x)^2 = \frac{1}{2}(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \frac{1}{2}(\cos^2x - \sin^2x) $
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x $, получаем:
$ \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}\cos(8\alpha) $
Подставим упрощенный числитель и знаменатель в выражение:
$ \frac{\frac{1}{2}\cos(8\alpha)}{-\cos(8\alpha)} = -\frac{1}{2} $
Ответ: $ -1/2 $

4) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin{8\alpha}}{1+\cos{8\alpha}} \cdot \frac{\cos{4\alpha}}{1+\cos{4\alpha}} \cdot \frac{\sin{4\alpha}}{1-\cos{4\alpha}} $.
Будем использовать формулы двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $ и $ \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x $.
Упростим первый множитель:
$ \frac{\sin{8\alpha}}{1+\cos{8\alpha}} = \frac{2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{1+(2\cos^2{4\alpha}-1)} = \frac{2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{2\cos^2{4\alpha}} = \frac{\sin{4\alpha}}{\cos{4\alpha}} = \text{tg}(4\alpha) $
Теперь сгруппируем и упростим второй и третий множители:
$ \frac{\cos{4\alpha}}{1+\cos{4\alpha}} \cdot \frac{\sin{4\alpha}}{1-\cos{4\alpha}} = \frac{\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{(1+\cos{4\alpha})(1-\cos{4\alpha})} $
В знаменателе используем формулу разности квадратов, а затем основное тригонометрическое тождество:
$ (1+\cos{4\alpha})(1-\cos{4\alpha}) = 1 - \cos^2{4\alpha} = \sin^2{4\alpha} $
Тогда произведение второго и третьего множителей равно:
$ \frac{\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{\sin^2{4\alpha}} = \frac{\cos{4\alpha}}{\sin{4\alpha}} = \text{ctg}(4\alpha) $
Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:
$ \text{tg}(4\alpha) \cdot \text{ctg}(4\alpha) = 1 $
Ответ: $ 1 $