Номер 207, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Понизьте степень выражения:

1) $\sin^2 \frac{\alpha}{4};$

2) $\cos^2 5x;$

3) $\sin^2 (3\beta + 5^{\circ});$

4) $\cos^2 \left(\frac{\varphi}{6} - \frac{\pi}{14}\right).$

Для понижения степени тригонометрических выражений используются формулы понижения степени, которые являются следствиями формул косинуса двойного угла:

• $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $
• $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $

Применим эти формулы к каждому из данных выражений.

1) Понизить степень выражения $ \sin^2\frac{\alpha}{4} $.
Используем формулу для квадрата синуса: $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $.
В данном случае, аргумент $ \theta = \frac{\alpha}{4} $.
Удвоенный аргумент будет равен $ 2\theta = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2} $.
Подставляя в формулу, получаем:
$ \sin^2\frac{\alpha}{4} = \frac{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}{2} $.

2) Понизить степень выражения $ \cos^2 5x $.
Используем формулу для квадрата косинуса: $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $.
Здесь аргумент $ \theta = 5x $.
Удвоенный аргумент будет равен $ 2\theta = 2 \cdot 5x = 10x $.
Подставляя в формулу, получаем:
$ \cos^2 5x = \frac{1 + \cos(10x)}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 + \cos(10x)}{2} $.

3) Понизить степень выражения $ \sin^2(3\beta + 5^{\circ}) $.
Снова используем формулу для квадрата синуса: $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $.
В этом случае, аргумент $ \theta = 3\beta + 5^{\circ} $.
Удвоенный аргумент равен $ 2\theta = 2 \cdot (3\beta + 5^{\circ}) = 6\beta + 10^{\circ} $.
Подставляем в формулу:
$ \sin^2(3\beta + 5^{\circ}) = \frac{1 - \cos(6\beta + 10^{\circ})}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 - \cos(6\beta + 10^{\circ})}{2} $.

4) Понизить степень выражения $ \cos^2(\frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14}) $.
Применяем формулу для квадрата косинуса: $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $.
Здесь аргумент $ \theta = \frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14} $.
Удвоенный аргумент равен $ 2\theta = 2 \cdot (\frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14}) = \frac{2\phi}{6} - \frac{2\pi}{14} = \frac{\phi}{3} - \frac{\pi}{7} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos^2(\frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14}) = \frac{1 + \cos(\frac{\phi}{3} - \frac{\pi}{7})}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 + \cos(\frac{\phi}{3} - \frac{\pi}{7})}{2} $.