Номер 201, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Для упрощения выражения $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \cos(\pi + \alpha) + \operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) + \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения для каждого слагаемого.

• $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во второй четверти, где синус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция синус меняется на кофункцию, то есть косинус.
  Следовательно, $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$.
• $\cos(\pi + \alpha)$: Угол $\pi + \alpha$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Так как в формуле присутствует $\pi$, функция не меняется.
  Следовательно, $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
• $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha)$: Угол $2\pi - \alpha$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $2\pi$, функция не меняется.
  Следовательно, $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.
• $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция тангенс меняется на кофункцию, то есть котангенс.
  Следовательно, $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) + (-\operatorname{ctg}(\alpha)) + \operatorname{ctg}(\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) - \operatorname{ctg}(\alpha) + \operatorname{ctg}(\alpha) = 0$.

Ответ: $0$.

Упростим выражение $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})\cos(3\pi - \alpha) + \sin(\alpha + \frac{5\pi}{2})\sin(3\pi + \alpha)$, применяя формулы приведения к каждому множителю.

• $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$: Угол во II четверти, косинус отрицателен. Функция меняется на синус.
  $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha)$.
• $\cos(3\pi - \alpha) = \cos(2\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha)$: Угол во II четверти, косинус отрицателен. Функция не меняется.
  $\cos(3\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
• $\sin(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = \sin(\alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$: Угол во II четверти, синус положителен. Функция меняется на косинус.
  $\sin(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = \cos(\alpha)$.
• $\sin(3\pi + \alpha) = \sin(2\pi + \pi + \alpha) = \sin(\pi + \alpha)$: Угол в III четверти, синус отрицателен. Функция не меняется.
  $\sin(3\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:
$(-\sin(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) + \cos(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha)) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\cos(\alpha) = 0$.

Ответ: $0$.

Упростим выражение $\frac{\sin(\pi - \beta)\cos(\pi + \beta)\operatorname{tg}(\pi - \beta)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \beta)\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \beta)\cos(\frac{\pi}{2} + \beta)}$.

Сначала упростим числитель дроби, используя формулы приведения:

• $\sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$ (II четверть, $\sin > 0$).
• $\cos(\pi + \beta) = -\cos(\beta)$ (III четверть, $\cos < 0$).
• $\operatorname{tg}(\pi - \beta) = -\operatorname{tg}(\beta)$ (II четверть, $\operatorname{tg} < 0$).

Произведение в числителе: $\sin(\beta) \cdot (-\cos(\beta)) \cdot (-\operatorname{tg}(\beta)) = \sin(\beta)\cos(\beta)\operatorname{tg}(\beta)$.
Заменяя $\operatorname{tg}(\beta)$ на $\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$, получаем: $\sin(\beta)\cos(\beta)\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \sin^2(\beta)$.

Теперь упростим знаменатель дроби:

• $\sin(\frac{3\pi}{2} - \beta) = -\cos(\beta)$ (III четверть, $\sin < 0$, функция меняется).
• $\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -\operatorname{tg}(\beta)$ (IV четверть, $\operatorname{ctg} < 0$, функция меняется).
• $\cos(\frac{\pi}{2} + \beta) = -\sin(\beta)$ (II четверть, $\cos < 0$, функция меняется).

Произведение в знаменателе: $(-\cos(\beta)) \cdot (-\operatorname{tg}(\beta)) \cdot (-\sin(\beta)) = -\cos(\beta)\operatorname{tg}(\beta)\sin(\beta)$.
Заменяя $\operatorname{tg}(\beta)$ на $\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$, получаем: $-\cos(\beta)\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\sin(\beta) = -\sin^2(\beta)$.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{\sin^2(\beta)}{-\sin^2(\beta)} = -1$.

Ответ: $-1$.