Номер 204, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Найдите значение выражения:

1) $1-2\cos^2\frac{\pi}{8};$

2) $\frac{\text{tg}^2 75^\circ - 1}{\text{tg}^2 75^\circ + 1};$

3) $2\sin 7,5^\circ \cos 7,5^\circ \cos 15^\circ.$

1) Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Вынесем минус за скобки в исходном выражении: $1 - 2\cos^2\frac{\pi}{8} = -(2\cos^2\frac{\pi}{8} - 1)$. Теперь выражение в скобках соответствует правой части формулы косинуса двойного угла при $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу: $-(2\cos^2\frac{\pi}{8} - 1) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$. Мы знаем, что значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, итоговое значение выражения равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Преобразуем выражение, используя определение тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. $\frac{\tg^2 75^\circ - 1}{\tg^2 75^\circ + 1} = \frac{\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} - 1}{\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} + 1}$. Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на $\cos^2 75^\circ$: $\frac{(\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} - 1) \cdot \cos^2 75^\circ}{(\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} + 1) \cdot \cos^2 75^\circ} = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ}$. Знаменатель дроби, $\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ$, равен 1 согласно основному тригонометрическому тождеству. Числитель дроби, $\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ$, можно преобразовать: $-(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ)$. Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ при $\alpha = 75^\circ$. Таким образом, получаем: $\frac{-(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ)}{1} = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos(150^\circ)$. Найдем значение $\cos(150^\circ)$, используя формулу приведения: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Итоговое значение выражения: $-\cos(150^\circ) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Рассмотрим первые два множителя в исходном выражении: $2\sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ$. Они соответствуют правой части формулы синуса двойного угла при $\alpha = 7.5^\circ$. $2\sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ = \sin(2 \cdot 7.5^\circ) = \sin(15^\circ)$. Теперь исходное выражение принимает вид: $\sin(15^\circ) \cos(15^\circ)$. Это выражение похоже на формулу синуса двойного угла, но не хватает множителя 2. Домножим и разделим выражение на 2: $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot (2\sin 15^\circ \cos 15^\circ)$. Теперь применим формулу синуса двойного угла для выражения в скобках, где $\alpha = 15^\circ$: $2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$. Подставим это значение обратно: $\frac{1}{2} \cdot \sin(30^\circ)$. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Итоговое значение: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.