Номер 200, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Найдите значение выражения:

1) $3\text{ctg } 135^\circ + 2\text{cos } 120^\circ + \text{tg } 420^\circ + 2\text{sin } 300^\circ;$

2) $\text{sin }\frac{7\pi}{4} \text{cos }\frac{7\pi}{6} \text{tg }\left(-\frac{5\pi}{3}\right)\text{ctg }\frac{4\pi}{3};$

3) $\text{sin } 200^\circ \text{sin } 310^\circ + \text{cos } 340^\circ \text{cos } 50^\circ;$

4) $\frac{\text{cos } 115^\circ \text{cos } 188^\circ + \text{sin } 8^\circ \text{cos } 25^\circ}{\text{sin } 138^\circ \text{cos } 9^\circ + \text{sin } 189^\circ \text{cos } 42^\circ}.$

1) Для нахождения значения выражения $3\text{ctg} 135^\circ + 2\cos 120^\circ + \text{tg} 420^\circ + 2\sin 300^\circ$ воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций для основных углов.
Вычислим значение каждого слагаемого:
$\text{ctg} 135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg} 45^\circ = -1$.
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -{1 \over 2}$.
$\text{tg} 420^\circ = \text{tg}(360^\circ + 60^\circ) = \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.
$\sin 300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -{\sqrt{3} \over 2}$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$3 \cdot (-1) + 2 \cdot (-{1 \over 2}) + \sqrt{3} + 2 \cdot (-{\sqrt{3} \over 2}) = -3 - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = -4$.
Ответ: $-4$.

2) Найдем значение выражения $\sin{7\pi \over 4}\cos{7\pi \over 6}\text{tg}(-{5\pi \over 3})\text{ctg}{4\pi \over 3}$.
Вычислим значение каждого множителя, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций:
$\sin{7\pi \over 4} = \sin(2\pi - {\pi \over 4}) = -\sin{\pi \over 4} = -{\sqrt{2} \over 2}$.
$\cos{7\pi \over 6} = \cos(\pi + {\pi \over 6}) = -\cos{\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2}$.
$\text{tg}(-{5\pi \over 3}) = -\text{tg}{5\pi \over 3} = -\text{tg}(2\pi - {\pi \over 3}) = -(-\text{tg}{\pi \over 3}) = \text{tg}{\pi \over 3} = \sqrt{3}$.
$\text{ctg}{4\pi \over 3} = \text{ctg}(\pi + {\pi \over 3}) = \text{ctg}{\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}}$.
Перемножим полученные значения:
$(-{\sqrt{2} \over 2}) \cdot (-{\sqrt{3} \over 2}) \cdot \sqrt{3} \cdot {1 \over \sqrt{3}} = {\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \over 4} = {\sqrt{6} \over 4}$.
Ответ: ${\sqrt{6} \over 4}$.

3) Требуется найти значение выражения $\sin 200^\circ \sin 310^\circ + \cos 340^\circ \cos 50^\circ$.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
Приведем аргументы тригонометрических функций к углам, которые позволят использовать формулу:
$\sin 200^\circ = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$.
$\sin 310^\circ = \sin(360^\circ - 50^\circ) = -\sin 50^\circ$.
$\cos 340^\circ = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$.
Подставим преобразованные значения в исходное выражение:
$(-\sin 20^\circ)(-\sin 50^\circ) + \cos 20^\circ \cos 50^\circ = \sin 20^\circ \sin 50^\circ + \cos 20^\circ \cos 50^\circ$.
Переставим множители для соответствия формуле: $\cos 50^\circ \cos 20^\circ + \sin 50^\circ \sin 20^\circ$.
Это выражение соответствует формуле косинуса разности, где $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.
$\cos 50^\circ \cos 20^\circ + \sin 50^\circ \sin 20^\circ = \cos(50^\circ - 20^\circ) = \cos 30^\circ = {\sqrt{3} \over 2}$.
Ответ: ${\sqrt{3} \over 2}$.

4) Найдем значение выражения ${\cos 115^\circ \cos 188^\circ + \sin 8^\circ \cos 25^\circ \over \sin 138^\circ \cos 9^\circ + \sin 189^\circ \cos 42^\circ}$.
Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель, применяя формулы приведения.
Числитель: $\cos 115^\circ \cos 188^\circ + \sin 8^\circ \cos 25^\circ$.
$\cos 115^\circ = \cos(90^\circ + 25^\circ) = -\sin 25^\circ$.
$\cos 188^\circ = \cos(180^\circ + 8^\circ) = -\cos 8^\circ$.
Подставляем: $(-\sin 25^\circ)(-\cos 8^\circ) + \sin 8^\circ \cos 25^\circ = \sin 25^\circ \cos 8^\circ + \cos 25^\circ \sin 8^\circ$.
Это формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Таким образом, числитель равен $\sin(25^\circ + 8^\circ) = \sin 33^\circ$.
Знаменатель: $\sin 138^\circ \cos 9^\circ + \sin 189^\circ \cos 42^\circ$.
$\sin 138^\circ = \sin(180^\circ - 42^\circ) = \sin 42^\circ$.
$\sin 189^\circ = \sin(180^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ$.
Подставляем: $\sin 42^\circ \cos 9^\circ + (-\sin 9^\circ) \cos 42^\circ = \sin 42^\circ \cos 9^\circ - \cos 42^\circ \sin 9^\circ$.
Это формула синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
Таким образом, знаменатель равен $\sin(42^\circ - 9^\circ) = \sin 33^\circ$.
Теперь найдем значение всей дроби:
${\sin 33^\circ \over \sin 33^\circ} = 1$.
Ответ: $1$.