gdz.top
Номер 193, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 3. Формулы сложения - номер 193, страница 138.
№192
№193 (с. 138)
Условие. №193 (с. 138)
193. Найдите $\tan 15^\circ$.
Решение. №193 (с. 138)
Для того чтобы найти значение $\tg 15^\circ$, представим $15^\circ$ как разность двух углов, тангенсы которых являются табличными значениями. Наиболее удобным вариантом является $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:
$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta}$
Подставим в эту формулу $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\tg 15^\circ = \tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tg 45^\circ - \tg 30^\circ}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 30^\circ}$
Нам известны значения тангенсов для углов $45^\circ$ и $30^\circ$:
$\tg 45^\circ = 1$
$\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$)
Теперь подставим эти числовые значения в выражение для $\tg 15^\circ$:
$\tg 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$
Сократим общий знаменатель 3 в числителе и знаменателе полученной дроби:
$\tg 15^\circ = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(3 - \sqrt{3})$:
$\tg 15^\circ = \frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2}$
В числителе применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в знаменателе — формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\tg 15^\circ = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6}$
Вынесем общий множитель 6 в числителе и сократим дробь:
$\tg 15^\circ = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3}$
Ответ: $2 - \sqrt{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 193 расположенного на странице 138 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №193 (с. 138), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.