Номер 190, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Упростите выражение:

1) $\sin \varphi \cos 3\varphi + \cos \varphi \sin 3\varphi;$

2) $\cos 64^\circ \cos 34^\circ + \sin 64^\circ \sin 34^\circ;$

3) $\sin(84^\circ - \alpha) \cos(\alpha + 24^\circ) - \cos(84^\circ - \alpha) \sin(\alpha + 24^\circ);$

4) $\frac{\cos 14^\circ \cos 23^\circ - \sin 14^\circ \sin 23^\circ}{\sin 56^\circ \cos 19^\circ - \cos 56^\circ \sin 19^\circ};$

5) $\frac{tg 14^\circ + tg 46^\circ}{1 - tg 14^\circ tg 46^\circ};$

6) $\frac{tg \left(\frac{\pi}{12} + \alpha\right) + tg \left(\frac{\pi}{12} - \alpha\right)}{1 - tg \left(\frac{\pi}{12} + \alpha\right) tg \left(\frac{\pi}{12} - \alpha\right)}.$

1) Данное выражение, $\sin \varphi \cos 3\varphi + \cos \varphi \sin 3\varphi$, соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
В нашем случае, $A = \varphi$ и $B = 3\varphi$.
Применяя формулу, получаем: $\sin(\varphi + 3\varphi) = \sin(4\varphi)$.
Ответ: $\sin(4\varphi)$.

2) Данное выражение, $\cos 64^\circ \cos 34^\circ + \sin 64^\circ \sin 34^\circ$, соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
В нашем случае, $A = 64^\circ$ и $B = 34^\circ$.
Применяя формулу, получаем: $\cos(64^\circ - 34^\circ) = \cos(30^\circ)$.
Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Данное выражение, $\sin(84^\circ - \alpha)\cos(\alpha + 24^\circ) - \cos(84^\circ - \alpha)\sin(\alpha + 24^\circ)$, соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
В нашем случае, $A = 84^\circ - \alpha$ и $B = \alpha + 24^\circ$.
Применяя формулу, получаем: $\sin((84^\circ - \alpha) - (\alpha + 24^\circ))$.
Упростим выражение в скобках: $84^\circ - \alpha - \alpha - 24^\circ = 60^\circ - 2\alpha$.
Таким образом, исходное выражение равно $\sin(60^\circ - 2\alpha)$.
Ответ: $\sin(60^\circ - 2\alpha)$.

4) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $\cos 14^\circ \cos 23^\circ - \sin 14^\circ \sin 23^\circ$. Это формула косинуса суммы: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
При $A = 14^\circ$ и $B = 23^\circ$, числитель равен $\cos(14^\circ + 23^\circ) = \cos(37^\circ)$.
Знаменатель: $\sin 56^\circ \cos 19^\circ - \cos 56^\circ \sin 19^\circ$. Это формула синуса разности: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
При $A = 56^\circ$ и $B = 19^\circ$, знаменатель равен $\sin(56^\circ - 19^\circ) = \sin(37^\circ)$.
Вся дробь равна $\frac{\cos(37^\circ)}{\sin(37^\circ)}$, что по определению является котангенсом.
Следовательно, выражение равно $\cot(37^\circ)$.
Ответ: $\cot(37^\circ)$.

5) Данное выражение, $\frac{\tan 14^\circ + \tan 46^\circ}{1 - \tan 14^\circ \tan 46^\circ}$, соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
В нашем случае, $A = 14^\circ$ и $B = 46^\circ$.
Применяя формулу, получаем: $\tan(14^\circ + 46^\circ) = \tan(60^\circ)$.
Значение $\tan(60^\circ)$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

6) Данное выражение, $\frac{\tan(\frac{\pi}{12} + \alpha) + \tan(\frac{\pi}{12} - \alpha)}{1 - \tan(\frac{\pi}{12} + \alpha) \tan(\frac{\pi}{12} - \alpha)}$, также соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
В нашем случае, $A = \frac{\pi}{12} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{12} - \alpha$.
Применяя формулу, получаем: $\tan\left(\left(\frac{\pi}{12} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{12} - \alpha\right)\right)$.
Упростим аргумент тангенса: $\frac{\pi}{12} + \alpha + \frac{\pi}{12} - \alpha = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.
Таким образом, выражение равно $\tan(\frac{\pi}{6})$.
Значение $\tan(\frac{\pi}{6})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.