Номер 185, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5 \cos \alpha + 6 \sin \alpha}{3 \sin \alpha - 8 \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = 4;$

2) $\frac{3 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = -3.$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 8\cos\alpha}$ при $\text{tg}\,\alpha = 4$, воспользуемся определением тангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Поскольку значение тангенса определено, $\cos\alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:
$\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 8\cos\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{6\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{8\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{5 + 6\text{tg}\,\alpha}{3\text{tg}\,\alpha - 8}$
Теперь подставим известное значение $\text{tg}\,\alpha = 4$ в полученное выражение:
$\frac{5 + 6 \cdot 4}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{5 + 24}{12 - 8} = \frac{29}{4}$
Ответ: $\frac{29}{4}$

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{3\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\sin\alpha\cos\alpha}$ при $\text{ctg}\,\alpha = -3$, воспользуемся определением котангенса: $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Поскольку значение котангенса определено, $\sin\alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$:
$\frac{3\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\frac{3\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{3 - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + 2(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2}{1 - 4\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{3 - \text{ctg}\,\alpha + 2\text{ctg}^2\alpha}{1 - 4\text{ctg}\,\alpha}$
Теперь подставим известное значение $\text{ctg}\,\alpha = -3$ в полученное выражение:
$\frac{3 - (-3) + 2(-3)^2}{1 - 4(-3)} = \frac{3 + 3 + 2 \cdot 9}{1 + 12} = \frac{6 + 18}{13} = \frac{24}{13}$
Ответ: $\frac{24}{13}$