Номер 180, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Упростите выражение:

1) $4\cos^2 \alpha - 4$

2) $3 - \sin^2 4\beta - \cos^2 4\beta$

3) $(\cos 7\alpha - 1)(\cos 7\alpha + 1)$

4) $6 - \frac{6}{\cos^2 2\varphi}$

5) $\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sin^2 3\beta}$

6) $\operatorname{tg} 5x \operatorname{ctg} 5x + \operatorname{tg}^2 4x$

7) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\varphi}{4} \cos \frac{\varphi}{4}}{1 + \operatorname{ctg}^2 \frac{\varphi}{4}}$

8) $(\operatorname{tg} 3\beta + \operatorname{ctg} 3\beta)\sin^2 3\beta$

9) $(\cos 6x + \sin 6x)^2 + (\cos 6x - \sin 6x)^2$

10) $\frac{\cos^2 4\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 4\alpha(\sin^2 4\alpha - 1)}$

1) $4\cos^2 \alpha - 4$
Вынесем общий множитель 4 за скобки: $4(\cos^2 \alpha - 1)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Подставим это в выражение: $4(-\sin^2 \alpha) = -4\sin^2 \alpha$.
Ответ: $-4\sin^2 \alpha$.

2) $3 - \sin^2 4\beta - \cos^2 4\beta$
Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем -1 за скобки: $3 - (\sin^2 4\beta + \cos^2 4\beta)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, где $x = 4\beta$.
Выражение в скобках равно 1: $3 - 1 = 2$.
Ответ: $2$.

3) $(\cos 7\alpha - 1)(\cos 7\alpha + 1)$
Это выражение является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \cos 7\alpha$ и $b = 1$.
Применив формулу, получим: $(\cos 7\alpha)^2 - 1^2 = \cos^2 7\alpha - 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$.
Следовательно, выражение равно $-\sin^2 7\alpha$.
Ответ: $-\sin^2 7\alpha$.

4) $6 - \frac{6}{\cos^2 2\varphi}$
Вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(1 - \frac{1}{\cos^2 2\varphi})$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $6(\frac{\cos^2 2\varphi - 1}{\cos^2 2\varphi})$.
Используем тождество $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$.
Получим: $6(\frac{-\sin^2 2\varphi}{\cos^2 2\varphi}) = -6 \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos^2 2\varphi}$.
Так как $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, выражение упрощается до $-6\tan^2 2\varphi$.
Ответ: $-6\tan^2 2\varphi$.

5) $\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sin^2 3\beta}$
Первые два слагаемых представляют собой основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для $x = \frac{\alpha}{2}$.
Таким образом, $\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1$.
Выражение упрощается до $1 - \frac{1}{\sin^2 3\beta}$.
Используем тождество $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, откуда следует $1 - \frac{1}{\sin^2 x} = -\cot^2 x$.
Подставив $x = 3\beta$, получаем: $1 - \frac{1}{\sin^2 3\beta} = -\cot^2 3\beta$.
Ответ: $-\cot^2 3\beta$.

6) $\tan 5x \cdot \cot 5x + \tan^2 4x$
Используем тождество $\tan x \cdot \cot x = 1$.
Тогда $\tan 5x \cdot \cot 5x = 1$.
Выражение становится $1 + \tan^2 4x$.
Используя другое тригонометрическое тождество $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем $\frac{1}{\cos^2 4x}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 4x}$.

7) $\frac{\tan \frac{\varphi}{4} \cos \frac{\varphi}{4}}{1 + \cot^2 \frac{\varphi}{4}}$
Упростим числитель, используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $\tan \frac{\varphi}{4} \cos \frac{\varphi}{4} = \frac{\sin \frac{\varphi}{4}}{\cos \frac{\varphi}{4}} \cdot \cos \frac{\varphi}{4} = \sin \frac{\varphi}{4}$.
Упростим знаменатель, используя тождество $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$: $1 + \cot^2 \frac{\varphi}{4} = \frac{1}{\sin^2 \frac{\varphi}{4}}$.
Подставим упрощенные части обратно в дробь: $\frac{\sin \frac{\varphi}{4}}{\frac{1}{\sin^2 \frac{\varphi}{4}}}$.
Это равно $\sin \frac{\varphi}{4} \cdot \sin^2 \frac{\varphi}{4} = \sin^3 \frac{\varphi}{4}$.
Ответ: $\sin^3 \frac{\varphi}{4}$.

8) $(\tan 3\beta + \cot 3\beta)\sin^2 3\beta$
Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tan 3\beta = \frac{\sin 3\beta}{\cos 3\beta}$ и $\cot 3\beta = \frac{\cos 3\beta}{\sin 3\beta}$.
Выражение в скобках становится: $\frac{\sin 3\beta}{\cos 3\beta} + \frac{\cos 3\beta}{\sin 3\beta} = \frac{\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta}{\sin 3\beta \cos 3\beta}$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $\frac{1}{\sin 3\beta \cos 3\beta}$.
Теперь умножим это на $\sin^2 3\beta$: $\frac{1}{\sin 3\beta \cos 3\beta} \cdot \sin^2 3\beta = \frac{\sin^2 3\beta}{\sin 3\beta \cos 3\beta}$.
Сократив $\sin 3\beta$, получим $\frac{\sin 3\beta}{\cos 3\beta} = \tan 3\beta$.
Ответ: $\tan 3\beta$.

9) $(\cos 6x + \sin 6x)^2 + (\cos 6x - \sin 6x)^2$
Раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$(\cos^2 6x + 2\sin 6x \cos 6x + \sin^2 6x) + (\cos^2 6x - 2\sin 6x \cos 6x + \sin^2 6x)$.
Приведем подобные слагаемые: $2\sin 6x \cos 6x$ и $-2\sin 6x \cos 6x$ взаимно уничтожаются.
Остается: $\cos^2 6x + \sin^2 6x + \cos^2 6x + \sin^2 6x$.
Сгруппируем: $(\cos^2 6x + \sin^2 6x) + (\cos^2 6x + \sin^2 6x)$.
Используя основное тригонометрическое тождество, каждая скобка равна 1.
Получаем: $1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

10) $\frac{\cos^2 4\alpha}{1 + \tan^2 4\alpha(\sin^2 4\alpha - 1)}$
Рассмотрим знаменатель. Используем тождество $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$. Тогда $\sin^2 4\alpha - 1 = -\cos^2 4\alpha$.
Знаменатель принимает вид: $1 + \tan^2 4\alpha(-\cos^2 4\alpha)$.
Заменим $\tan^2 4\alpha$ на $\frac{\sin^2 4\alpha}{\cos^2 4\alpha}$: $1 + \frac{\sin^2 4\alpha}{\cos^2 4\alpha}(-\cos^2 4\alpha)$.
Сократим $\cos^2 4\alpha$: $1 - \sin^2 4\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, $1 - \sin^2 4\alpha = \cos^2 4\alpha$.
Таким образом, все выражение равно $\frac{\cos^2 4\alpha}{\cos^2 4\alpha} = 1$ (при условии, что $\cos 4\alpha \neq 0$, что следует из наличия $\tan 4\alpha$ в исходном выражении).
Ответ: $1$.