Номер 181, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $ \sin \alpha = \frac{1}{3} $ и $ \cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $;

2) $ \operatorname{tg} \alpha = 5 $ и $ \operatorname{ctg} \alpha = -0.2 $;

3) $ \cos \alpha = -\frac{1}{4} $ и $ \operatorname{tg} \alpha = \sqrt{15} $?

1) $sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Для проверки возможности одновременного выполнения этих равенств используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
Подставим в него заданные значения синуса и косинуса:
$(\frac{1}{3})^2 + (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} + \frac{(-2\sqrt{2})^2}{3^2} = \frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{1}{9} + \frac{8}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Поскольку мы получили верное равенство $1 = 1$, тождество выполняется. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно (для угла $\alpha$ во второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен).
Ответ: да, могут.

2) $tg\alpha = 5$ и $ctg\alpha = -0,2$
Для проверки используем тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла: $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
Подставим в него данные значения:
$5 \cdot (-0,2) = 5 \cdot (-\frac{2}{10}) = 5 \cdot (-\frac{1}{5}) = -1$.
Мы получили, что произведение тангенса и котангенса равно -1, а не 1. Так как $-1 \ne 1$, тождество не выполняется.
Также стоит отметить, что тангенс и котангенс одного и того же угла всегда имеют одинаковые знаки. В данном случае $tg\alpha > 0$, а $ctg\alpha < 0$, что невозможно.
Следовательно, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: нет, не могут.

3) $cos\alpha = -\frac{1}{4}$ и $tg\alpha = \sqrt{15}$
Для проверки используем тождество, связывающее косинус и тангенс: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Подставим в него заданные значения:
$1 + (\sqrt{15})^2 = \frac{1}{(-\frac{1}{4})^2}$
$1 + 15 = \frac{1}{\frac{1}{16}}$
$16 = 16$
Получено верное равенство, значит, тождество выполняется. Теперь необходимо проверить соответствие знаков тригонометрических функций. Если $cos\alpha = -\frac{1}{4} < 0$, то угол $\alpha$ может находиться во II или III координатной четверти. Если $tg\alpha = \sqrt{15} > 0$, то угол $\alpha$ может находиться в I или III координатной четверти. Оба условия одновременно выполняются, если угол $\alpha$ находится в III четверти. Противоречий нет.
Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно.
Ответ: да, могут.