Номер 179, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{tg} 2|x|;$

2) $y = \operatorname{ctg} x + |\operatorname{ctg} x|$.

1) $y = \operatorname{tg} 2|x|$

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} 2|x|$ проанализируем её свойства.

1. Так как аргумент функции содержит $|x|$, функция является четной. Это означает, что $y(-x) = \operatorname{tg}(2|-x|) = \operatorname{tg}(2|x|) = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Благодаря симметрии, мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси OY, чтобы получить полную картину.

3. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{tg}(2x)$.

4. Построим график функции $y = \operatorname{tg}(2x)$ для $x \ge 0$.

• Это график функции $y = \operatorname{tg} x$, сжатый по горизонтали в 2 раза.
• Период функции $y = \operatorname{tg}(2x)$ равен $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты находятся из условия $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
• Для $x \ge 0$ асимптотами будут прямые $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$ и т.д.
• Нули функции находятся в точках, где $2x = \pi k$, т.е. $x = \frac{\pi k}{2}$. Для $x \ge 0$ это точки $x = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$ и т.д.

5. Построив ветви тангенсоиды $y = \operatorname{tg}(2x)$ в правой полуплоскости ($x \ge 0$), мы отражаем их симметрично относительно оси OY. В результате в левой полуплоскости ($x < 0$) появятся симметричные ветви с асимптотами $x = -\frac{\pi}{4}, x = -\frac{3\pi}{4}$ и т.д.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} 2|x|$ строится следующим образом: сначала строится график функции $y = \operatorname{tg} 2x$ для $x \ge 0$, а затем эта часть графика симметрично отражается относительно оси Oy.

2) $y = \operatorname{ctg} x + |\operatorname{ctg} x|$

Для построения графика этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 2\operatorname{ctg} x$. Неравенство $\operatorname{ctg} x \ge 0$ выполняется в I и III координатных четвертях, то есть на интервалах $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$. Неравенство $\operatorname{ctg} x < 0$ выполняется во II и IV координатных четвертях, то есть на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $ y = \begin{cases} 2\operatorname{ctg} x, & \text{если } x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k] \\ 0, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k) \end{cases} $

3. Построим график, основываясь на этом определении.

• В интервалах вида $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, например, в $(0, \frac{\pi}{2}]$, $(\pi, \frac{3\pi}{2}]$ и т.д., мы строим график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$. Это график котангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси OY. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x=\pi k$.
• В интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, например, в $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ и т.д., мы строим график функции $y = 0$. Это отрезки, лежащие на оси OX.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x + |\operatorname{ctg} x|$ представляет собой совокупность участков. На интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$, это график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$. На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, это график функции $y = 0$ (отрезок на оси Ох).