Номер 172, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. Постройте график функции:

1) $y = \cos x + 1;$

2) $y = \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right);$

3) $y = \cos \frac{x}{2};$

4) $y = -3\cos x;$

5) $y = -3\cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 1.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \cos x$. График функции $y = \cos x$ — это косинусоида с периодом $T = 2\pi$, амплитудой $A=1$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$.

1) $y = \cos x + 1$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 1 единицу вверх.

Построение:

1. Строим график функции $y = \cos x$. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: максимум в $(0, 1)$, нули в $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, минимум в $(\pi, -1)$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на 1 единицу вверх.

Таким образом, ключевые точки нового графика будут:

• Максимум: $(0, 1+1) = (0, 2)$
• Точки пересечения с линией $y=1$: $(\frac{\pi}{2}, 0+1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0+1) = (\frac{3\pi}{2}, 1)$
• Минимум: $(\pi, -1+1) = (\pi, 0)$

Период функции остается $2\pi$, а область значений становится $[0, 2]$.

Ответ: График функции $y = \cos x + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

2) $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо.

Построение:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо.

Ключевые точки графика $y = \cos x$ смещаются:

• Максимум $(0, 1)$ смещается в точку $(0 + \frac{2\pi}{3}, 1) = (\frac{2\pi}{3}, 1)$.
• Нуль $(\frac{\pi}{2}, 0)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}, 0) = (\frac{7\pi}{6}, 0)$.
• Минимум $(\pi, -1)$ смещается в точку $(\pi + \frac{2\pi}{3}, -1) = (\frac{5\pi}{3}, -1)$.

Период, амплитуда и область значений остаются такими же, как у $y = \cos x$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на $\frac{2\pi}{3}$ вправо вдоль оси $Ox$.

3) $y = \cos\frac{x}{2}$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза.

Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. "Растягиваем" его от оси $Oy$ в 2 раза. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \cos x$ переходит в точку $(2x, y)$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$:

• Максимум в $(0, 1)$.
• Нули в $(\pi, 0)$ и $(3\pi, 0)$.
• Минимум в $(2\pi, -1)$.

Амплитуда и область значений не изменяются.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ получается путем растяжения графика функции $y = \cos x$ в 2 раза вдоль оси $Ox$.

4) $y = -3\cos x$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ в два шага:

1. Растяжение вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Это преобразование изменяет амплитуду с 1 на 3. Получаем график функции $y = 3\cos x$. Область значений становится $[-3, 3]$.
2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$. Это преобразование меняет знак функции. Максимумы становятся минимумами и наоборот.

Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$:

• Точка $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0, -3 \cdot 1) = (0, -3)$ (минимум).
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ остается на месте $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• Точка $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, -3 \cdot (-1)) = (\pi, 3)$ (максимум).

Период функции остается $2\pi$. Амплитуда равна 3, область значений $[-3, 3]$.

Ответ: График функции $y = -3\cos x$ получается путем растяжения графика функции $y = \cos x$ в 3 раза вдоль оси $Oy$ с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

5) $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3}) + 1$

Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем последовательного выполнения нескольких преобразований:

1. Сдвиг вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{2\pi}{3}$. Получаем $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$.
2. Растяжение вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Получаем $y = 3\cos(x - \frac{2\pi}{3})$.
3. Симметричное отражение относительно оси $Ox$. Получаем $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3})$.
4. Сдвиг вверх вдоль оси $Oy$ на 1 единицу. Получаем $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3}) + 1$.

Проследим за ключевыми точками графика $y = \cos x$:

• Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(\frac{2\pi}{3}, -3 \cdot 1 + 1) = (\frac{2\pi}{3}, -2)$ (минимум).
• Нуль $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}, -3 \cdot 0 + 1) = (\frac{7\pi}{6}, 1)$ (точка на средней линии).
• Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi+\frac{2\pi}{3}, -3 \cdot (-1) + 1) = (\frac{5\pi}{3}, 4)$ (максимум).

Период функции $T=2\pi$. Амплитуда $A=3$. График колеблется вокруг прямой $y=1$. Область значений: $[1-3, 1+3] = [-2, 4]$.

Ответ: График функции $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3}) + 1$ получается из графика $y = \cos x$ путем сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ вправо, растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$, отражения относительно оси $Ox$ и сдвига на 1 единицу вверх.