Номер 171, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Постройте график функции:

1) $y = \sin x - 1$;

2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

3) $y = -\sin 4x$;

4) $y = 2\sin x$;

5) $y = 2\sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$.

1) $y = \sin x - 1$

Для построения графика функции $y = \sin x - 1$ будем использовать метод преобразования графиков, взяв за основу график функции $y = \sin x$.

1. Построим график основной функции $y = \sin x$. Это синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, и областью значений $[-1, 1]$. График проходит через начало координат.

2. Функция $y = \sin x - 1$ получается из $y = \sin x$ путем вычитания 1. Это преобразование вида $y = f(x) + D$ с $D = -1$, которое соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика вдоль оси ординат (OY) на $|D|$ единиц.

3. Так как $D = -1$, сдвиг осуществляется на 1 единицу вниз. Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на 1 единицу вниз.

Ключевые точки преобразуются так:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, -1)$.
• Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в $(\pi, -1)$.
• Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.
• Точка $(2\pi, 0)$ переходит в $(2\pi, -1)$.

Период функции не изменяется ($T=2\pi$), а область значений становится $[-2, 0]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 1$ получается из графика $y = \sin x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

2) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ за основу берется график функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y = \sin x$.

2. Данная функция имеет вид $y = f(x - C)$, где $C = \frac{\pi}{6}$. Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси абсцисс (OX).

3. Поскольку $C = \frac{\pi}{6} > 0$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

Ключевые точки преобразуются так:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{6}, 0)$.
• Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{2\pi}{3}, 1)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в $(\pi + \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{7\pi}{6}, 0)$.
• Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{5\pi}{3}, -1)$.
• Точка $(2\pi, 0)$ переходит в $(2\pi + \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{13\pi}{6}, 0)$.

Период, амплитуда и область значений функции остаются без изменений.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо вдоль оси OX.

3) $y = -\sin 4x$

Построение графика функции $y = -\sin 4x$ выполним в несколько шагов, исходя из графика $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y = \sin x$.

2. Преобразуем аргумент: $y = \sin 4x$. Это преобразование вида $y = f(Bx)$ с $B = 4$. Оно соответствует сжатию графика вдоль оси OX в 4 раза. Период функции уменьшается в 4 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

3. Применяем знак минус: $y = -\sin 4x$. Это преобразование вида $y = -f(x)$, которое соответствует симметричному отражению графика относительно оси OX. Все положительные значения функции становятся отрицательными, а отрицательные — положительными.

Таким образом, для построения графика нужно:

• Взять график $y = \sin x$.
• Сжать его по горизонтали в 4 раза, получив график $y = \sin 4x$. Один полный период теперь укладывается в отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.
• Отразить полученный график симметрично относительно оси OX.

Ключевые точки на одном периоде $[0, \frac{\pi}{2}]$:

• Начало в $(0, 0)$.
• Минимум в $(\frac{\pi}{8}, -1)$.
• Пересечение оси ОХ в $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Максимум в $(\frac{3\pi}{8}, 1)$.
• Конец периода в $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Ответ: График функции $y = -\sin 4x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия в 4 раза вдоль оси OX с последующим симметричным отражением относительно оси OX.

4) $y = 2\sin x$

Для построения графика функции $y = 2\sin x$ за основу берется график функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y = \sin x$.

2. Данная функция имеет вид $y = A f(x)$ с $A = 2$. Это преобразование соответствует растяжению графика вдоль оси OY.

3. Поскольку $A = 2 > 1$, происходит растяжение графика от оси OX в 2 раза. Каждая ордината (значение y) графика $y = \sin x$ умножается на 2.

Амплитуда функции увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$. Нули функции (точки пересечения с осью OX) остаются на своих местах.

Ключевые точки преобразуются так:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте $(0, 0)$.
• Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}, 2)$.
• Точка $(\pi, 0)$ остается на месте $(\pi, 0)$.
• Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.
• Точка $(2\pi, 0)$ остается на месте $(2\pi, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси OY.

5) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$

График данной функции можно построить, последовательно применяя преобразования к графику $y = \sin x$.

1. Основа: строим график функции $y = \sin x$.

2. Сдвиг по горизонтали: строим график $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Для этого сдвигаем график $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо (как в пункте 2).

3. Растяжение по вертикали: строим график $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Для этого растягиваем предыдущий график в 2 раза вдоль оси OY (как в пункте 4). Амплитуда становится равной 2. Область значений $[-2, 2]$.

4. Сдвиг по вертикали: строим итоговый график $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$. Для этого сдвигаем предыдущий график на 1 единицу вниз (как в пункте 1).

Итоговые характеристики функции:

• Амплитуда: $A = 2$.
• Период: $T = 2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
• Вертикальный сдвиг: 1 вниз.
• Область значений: $[-2-1, 2-1] = [-3, 1]$.
• Средняя линия: $y = -1$.

Проследим за одной из ключевых точек, например, началом синусоиды $(0, 0)$ на графике $y=\sin x$:

1. $y = \sin x$: точка $(0,0)$.
2. $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$: сдвиг вправо $\rightarrow (\frac{\pi}{6}, 0)$.
3. $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$: растяжение $\rightarrow (\frac{\pi}{6}, 2 \cdot 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$.
4. $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$: сдвиг вниз $\rightarrow (\frac{\pi}{6}, 0 - 1) = (\frac{\pi}{6}, -1)$.

Аналогично для точки максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$:

1. $y = \sin x$: точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
2. Сдвиг вправо $\rightarrow (\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{2\pi}{3}, 1)$.
3. Растяжение $\rightarrow (\frac{2\pi}{3}, 2)$.
4. Сдвиг вниз $\rightarrow (\frac{2\pi}{3}, 1)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$ получается из графика $y = \sin x$ путем последовательного выполнения следующих преобразований: сдвиг на $\frac{\pi}{6}$ вправо, растяжение в 2 раза вдоль оси OY и сдвиг на 1 единицу вниз.