Страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Какие из указанных точек принадлежат графику функции:

1) $y = \sin x$; 2) $y = \cos x$:

1) $A(-5\pi; 0)$;

2) $B(-\frac{17\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$;

3) $C(\frac{25\pi}{6}; \frac{1}{2})$;

4) $D(-\frac{15\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$;

5) $E(\frac{11\pi}{2}; 0)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки $(x_0, y_0)$ в уравнение функции $y = f(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $y_0 = f(x_0)$.

Проверим принадлежность каждой из заданных точек графику функции $y = \sin x$.

1) Точка A(–5$\pi$; 0). Подставляем $x = -5\pi$ в функцию: $y = \sin(-5\pi)$. Так как $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого числа $k$, то $\sin(-5\pi) = 0$. Координата $y$ точки равна 0. Равенство $0=0$ верно, значит, точка A принадлежит графику функции $y=\sin x$.

2) Точка B($-\frac{17\pi}{6}$; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{17\pi}{6}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{17\pi}{6})$. Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и его периодичность, получаем: $\sin(-\frac{17\pi}{6}) = -\sin(\frac{17\pi}{6}) = -\sin(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6})$. По формуле приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$, имеем $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Таким образом, $\sin(-\frac{17\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$, точка B не принадлежит графику функции $y=\sin x$.

3) Точка C($\frac{25\pi}{6}$; $\frac{1}{2}$). Подставляем $x = \frac{25\pi}{6}$ в функцию: $y = \sin(\frac{25\pi}{6})$. Используя периодичность синуса: $\sin(\frac{25\pi}{6}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Координата $y$ точки равна $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, точка C принадлежит графику функции $y=\sin x$.

4) Точка D($-\frac{15\pi}{4}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{15\pi}{4}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{15\pi}{4})$. Используя свойство нечетности синуса и его периодичность: $\sin(-\frac{15\pi}{4}) = -\sin(\frac{15\pi}{4}) = -\sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координата $y$ точки равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, точка D принадлежит графику функции $y=\sin x$.

5) Точка E($\frac{11\pi}{2}$; 0). Подставляем $x = \frac{11\pi}{2}$ в функцию: $y = \sin(\frac{11\pi}{2})$. Используя периодичность синуса: $\sin(\frac{11\pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Координата $y$ точки равна 0. Так как $-1 \neq 0$, точка E не принадлежит графику функции $y=\sin x$.

Ответ: A, C, D.

Проверим принадлежность каждой из заданных точек графику функции $y = \cos x$.

1) Точка A(–5$\pi$; 0). Подставляем $x = -5\pi$ в функцию: $y = \cos(-5\pi)$. Используя свойство четности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и его периодичность: $\cos(-5\pi) = \cos(5\pi) = \cos(4\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$. Так как $-1 \neq 0$, точка A не принадлежит графику функции $y=\cos x$.

2) Точка B($-\frac{17\pi}{6}$; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{17\pi}{6}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{17\pi}{6})$. Используя свойство четности косинуса и его периодичность: $\cos(-\frac{17\pi}{6}) = \cos(\frac{17\pi}{6}) = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$. По формуле приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$, имеем $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Координата $y$ точки равна $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, точка B принадлежит графику функции $y=\cos x$.

3) Точка C($\frac{25\pi}{6}$; $\frac{1}{2}$). Подставляем $x = \frac{25\pi}{6}$ в функцию: $y = \cos(\frac{25\pi}{6})$. Используя периодичность косинуса: $\cos(\frac{25\pi}{6}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, точка C не принадлежит графику функции $y=\cos x$.

4) Точка D($-\frac{15\pi}{4}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$). Подставляем $x = -\frac{15\pi}{4}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{15\pi}{4})$. Используя свойство четности косинуса и его периодичность: $\cos(-\frac{15\pi}{4}) = \cos(\frac{15\pi}{4}) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координата $y$ точки равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, точка D принадлежит графику функции $y=\cos x$.

5) Точка E($\frac{11\pi}{2}$; 0). Подставляем $x = \frac{11\pi}{2}$ в функцию: $y = \cos(\frac{11\pi}{2})$. Используя периодичность косинуса: $\cos(\frac{11\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Координата $y$ точки равна 0. Так как $0 = 0$, точка E принадлежит графику функции $y=\cos x$.

Ответ: B, D, E.

167. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

1) нули функции y = sin x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей функции $y = \sin x$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$ необходимо решить уравнение $\sin x = 0$.

Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Теперь найдем все целые значения $n$, для которых корни уравнения попадают в заданный промежуток: $$-\frac{\pi}{6} \le \pi n \le \frac{11\pi}{6}$$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{11}{6}$$ Что примерно равно $-0,17 \le n \le 1,83$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это $n = 0$ и $n = 1$.

При $n = 0$, получаем корень $x_1 = \pi \cdot 0 = 0$.

При $n = 1$, получаем корень $x_2 = \pi \cdot 1 = \pi$.

Оба значения $0$ и $\pi$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$.

Ответ: $0; \pi$.

2) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наибольшее и наименьшее значения.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $1$, а наименьшее — $-1$.

Наибольшее значение:
Наибольшее значение, равное $1$, функция $y = \sin x$ принимает при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем значения $k$, при которых $x$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$: $$-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{11\pi}{6}$$ Разделим неравенство на $\pi$: $$-\frac{1}{6} \le \frac{1}{2} + 2k \le \frac{11}{6}$$ Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей: $$-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} \le 2k \le \frac{11}{6} - \frac{3}{6}$$ $$-\frac{4}{6} \le 2k \le \frac{8}{6}$$ $$-\frac{2}{3} \le 2k \le \frac{4}{3}$$ Разделим на 2: $$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3}$$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в заданный промежуток.

Наименьшее значение:
Наименьшее значение, равное $-1$, функция $y = \sin x$ принимает при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ и найдем значения $k$, при которых $x$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right]$: $$-\frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{11\pi}{6}$$ Разделим неравенство на $\pi$: $$-\frac{1}{6} \le \frac{3}{2} + 2k \le \frac{11}{6}$$ Вычтем $\frac{3}{2}$ из всех частей: $$-\frac{1}{6} - \frac{9}{6} \le 2k \le \frac{11}{6} - \frac{9}{6}$$ $$-\frac{10}{6} \le 2k \le \frac{2}{6}$$ $$-\frac{5}{3} \le 2k \le \frac{1}{3}$$ Разделим на 2: $$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{1}{6}$$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{2}$. Это значение входит в заданный промежуток.

Ответ: наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{\pi}{2}$, а наименьшее — при $x = \frac{3\pi}{2}$.

168. Сравните:

1) sin $ \frac{17\pi}{8} $ и sin $ \frac{19\pi}{9} $;

2) sin $ (-184^{\circ}) $ и sin $ (-185^{\circ}) $;

3) sin 5,5 и sin 6;

4) cos $ \frac{13\pi}{11} $ и cos $ \frac{17\pi}{14} $;

5) cos $ 362^{\circ} $ и cos $ 363^{\circ} $;

6) cos $(-3)$ и cos $(-2)$.

1) Для сравнения значений синусов, приведем аргументы к основному промежутку $[0, 2\pi)$.
$ \sin\frac{17\pi}{8} = \sin(\frac{16\pi+\pi}{8}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8} $.
$ \sin\frac{19\pi}{9} = \sin(\frac{18\pi+\pi}{9}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9} $.
Теперь сравним $ \sin\frac{\pi}{8} $ и $ \sin\frac{\pi}{9} $. Оба угла $ \frac{\pi}{8} $ и $ \frac{\pi}{9} $ находятся в первой четверти $(0; \frac{\pi}{2})$, где функция $ y=\sin x $ возрастает.
Сравним аргументы: $ \frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{9} $, так как $ \frac{1}{8} > \frac{1}{9} $.
Поскольку функция синус возрастает в первой четверти, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Следовательно, $ \sin\frac{\pi}{8} > \sin\frac{\pi}{9} $, а значит, $ \sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9} $.
Ответ: $ \sin\frac{17\pi}{8} > \sin\frac{19\pi}{9} $.

2) Используем свойство нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
$ \sin(-184^\circ) = -\sin(184^\circ) $ и $ \sin(-185^\circ) = -\sin(185^\circ) $.
Теперь приведем углы к первой четверти, используя формулы приведения:
$ \sin(184^\circ) = \sin(180^\circ + 4^\circ) = -\sin(4^\circ) $.
$ \sin(185^\circ) = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin(5^\circ) $.
Подставляем обратно:
$ \sin(-184^\circ) = -(-\sin(4^\circ)) = \sin(4^\circ) $.
$ \sin(-185^\circ) = -(-\sin(5^\circ)) = \sin(5^\circ) $.
Теперь нужно сравнить $ \sin(4^\circ) $ и $ \sin(5^\circ) $. Оба угла находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), где функция $ y=\sin x $ возрастает.
Так как $ 4^\circ < 5^\circ $, то $ \sin(4^\circ) < \sin(5^\circ) $.
Следовательно, $ \sin(-184^\circ) < \sin(-185^\circ) $.
Ответ: $ \sin(-184^\circ) < \sin(-185^\circ) $.

3) Аргументы 5,5 и 6 даны в радианах. Определим, в какой четверти находятся эти углы.
Используем приближенные значения: $ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71 $ и $ 2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28 $.
Таким образом, $ \frac{3\pi}{2} < 5.5 < 6 < 2\pi $.
Оба угла находятся в четвертой четверти, на интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
На этом интервале функция $ y=\sin x $ возрастает (от -1 до 0).
Так как $ 5.5 < 6 $, то и значения функции будут в том же соотношении.
Следовательно, $ \sin 5.5 < \sin 6 $.
Ответ: $ \sin 5.5 < \sin 6 $.

4) Определим, в какой четверти находятся углы $ \frac{13\pi}{11} $ и $ \frac{17\pi}{14} $.
$ \frac{13\pi}{11} = \pi + \frac{2\pi}{11} $. Так как $ 0 < \frac{2\pi}{11} < \frac{\pi}{2} $, этот угол находится в третьей четверти.
$ \frac{17\pi}{14} = \pi + \frac{3\pi}{14} $. Так как $ 0 < \frac{3\pi}{14} < \frac{\pi}{2} $, этот угол также находится в третьей четверти.
На интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ функция $ y=\cos x $ убывает.
Сравним аргументы: $ \frac{13\pi}{11} $ и $ \frac{17\pi}{14} $. Для этого сравним дроби $ \frac{13}{11} $ и $ \frac{17}{14} $.
Приведем их к общему знаменателю: $ \frac{13 \cdot 14}{11 \cdot 14} = \frac{182}{154} $ и $ \frac{17 \cdot 11}{14 \cdot 11} = \frac{187}{154} $.
Так как $ 182 < 187 $, то $ \frac{13}{11} < \frac{17}{14} $, а значит $ \frac{13\pi}{11} < \frac{17\pi}{14} $.
Поскольку функция косинус убывает в третьей четверти, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $ \cos\frac{13\pi}{11} > \cos\frac{17\pi}{14} $.
Ответ: $ \cos\frac{13\pi}{11} > \cos\frac{17\pi}{14} $.

5) Воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $ 360^\circ $ ($ \cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos\alpha $).
$ \cos(362^\circ) = \cos(360^\circ + 2^\circ) = \cos(2^\circ) $.
$ \cos(363^\circ) = \cos(360^\circ + 3^\circ) = \cos(3^\circ) $.
Теперь сравним $ \cos(2^\circ) $ и $ \cos(3^\circ) $.
Оба угла, $ 2^\circ $ и $ 3^\circ $, находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
На этом интервале функция $ y=\cos x $ убывает.
Так как $ 2^\circ < 3^\circ $, то $ \cos(2^\circ) > \cos(3^\circ) $.
Следовательно, $ \cos(362^\circ) > \cos(363^\circ) $.
Ответ: $ \cos(362^\circ) > \cos(363^\circ) $.

6) Аргументы -3 и -2 даны в радианах. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $.
$ \cos(-3) = \cos(3) $.
$ \cos(-2) = \cos(2) $.
Теперь сравним $ \cos(3) $ и $ \cos(2) $.
Определим, в какой четверти находятся углы 2 и 3 радианы.
Используем приближенные значения: $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $.
Таким образом, $ \frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi $.
Оба угла находятся во второй четверти, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.
На этом интервале функция $ y=\cos x $ убывает.
Так как $ 2 < 3 $, то $ \cos(2) > \cos(3) $.
Следовательно, $ \cos(-2) > \cos(-3) $.
Ответ: $ \cos(-3) < \cos(-2) $.

169. Определите знак разности:

1) $ \sin 28^\circ - \cos 28^\circ $;

2) $ \cos 42^\circ - \sin 43^\circ $;

3) $ \sin 62^\circ - \cos 31^\circ $.

1) $sin 28^\circ - cos 28^\circ$

Для определения знака разности необходимо сравнить значения $sin 28^\circ$ и $cos 28^\circ$.

Рассмотрим единичную окружность. Углу $45^\circ$ соответствует точка, у которой абсцисса (косинус) и ордината (синус) равны. Для углов, меньших $45^\circ$ (в первой четверти), абсцисса больше ординаты, то есть $cos \alpha > sin \alpha$.

Поскольку $0^\circ < 28^\circ < 45^\circ$, то $cos 28^\circ > sin 28^\circ$.

Следовательно, разность $sin 28^\circ - cos 28^\circ$ является отрицательным числом.

Другой способ решения:
Воспользуемся формулой приведения $cos \alpha = sin(90^\circ - \alpha)$.
$cos 28^\circ = sin(90^\circ - 28^\circ) = sin 62^\circ$.
Тогда исходное выражение можно переписать в виде: $sin 28^\circ - sin 62^\circ$.
Функция $y = sin x$ на промежутке $[0^\circ; 90^\circ]$ является возрастающей. Так как $28^\circ < 62^\circ$, то $sin 28^\circ < sin 62^\circ$.
Отсюда следует, что разность $sin 28^\circ - sin 62^\circ < 0$.

Ответ: знак "минус" (-).

2) $cos 42^\circ - sin 43^\circ$

Чтобы сравнить значения, приведем их к одной тригонометрической функции. Используем формулу приведения $cos \alpha = sin(90^\circ - \alpha)$.

$cos 42^\circ = sin(90^\circ - 42^\circ) = sin 48^\circ$.

Теперь выражение имеет вид: $sin 48^\circ - sin 43^\circ$.

Функция $y = sin x$ в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) возрастает. Поскольку $48^\circ > 43^\circ$, то $sin 48^\circ > sin 43^\circ$.

Следовательно, разность $sin 48^\circ - sin 43^\circ$ является положительным числом.

Ответ: знак "плюс" (+).

3) $sin 62^\circ - cos 31^\circ$

Приведем $cos 31^\circ$ к синусу с помощью формулы приведения $cos \alpha = sin(90^\circ - \alpha)$.

$cos 31^\circ = sin(90^\circ - 31^\circ) = sin 59^\circ$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$sin 62^\circ - sin 59^\circ$.

Так как функция $y = sin x$ является возрастающей в первой четверти, а $62^\circ > 59^\circ$, то $sin 62^\circ > sin 59^\circ$.

Таким образом, разность $sin 62^\circ - sin 59^\circ$ положительна.

Ответ: знак "плюс" (+).

170. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \sqrt{2} \cos 47^\circ$;

2) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos 29^\circ$?

1) $cos α = \sqrt{2}cos 47°$;

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части, $\sqrt{2}cos 47°$, должно принадлежать области значений функции косинуса, то есть отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение выражения $\sqrt{2}cos 47°$.

Функция $y=cos(x)$ является убывающей на интервале $[0°, 90°]$. Сравним угол $47°$ с углом $45°$, косинус которого нам известен.

Поскольку $47° > 45°$, то для косинусов этих углов будет выполняться обратное неравенство:

$cos 47° < cos 45°$

Мы знаем, что $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$cos 47° < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$ (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

$\sqrt{2} \cdot cos 47° < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}cos 47° < \frac{2}{2}$

$\sqrt{2}cos 47° < 1$

Так как угол $47°$ находится в первой координатной четверти, его косинус положителен ($cos 47° > 0$), следовательно, и все выражение $\sqrt{2}cos 47°$ также положительно.

Таким образом, мы получили, что $0 < \sqrt{2}cos 47° < 1$. Это значение находится внутри отрезка $[-1, 1]$, а значит, существует такой угол $α$, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) $sin α = \frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$?

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части, $\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$, должно принадлежать области значений функции синуса, то есть отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$.

Функция $y=cos(x)$ является убывающей на интервале $[0°, 90°]$. Сравним угол $29°$ с углом $30°$, косинус которого нам известен.

Поскольку $29° < 30°$, то для косинусов этих углов будет выполняться обратное неравенство:

$cos 29° > cos 30°$

Мы знаем, что $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$cos 29° > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot cos 29° > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29° > 1$

Полученное значение $\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$ строго больше 1. Максимальное возможное значение для $sin α$ равно 1. Так как правая часть уравнения больше 1, то не существует такого угла $α$, для которого это равенство могло бы выполняться.

Ответ: нет, невозможно.

171. Постройте график функции:

1) $y = \sin x - 1$;

2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

3) $y = -\sin 4x$;

4) $y = 2\sin x$;

5) $y = 2\sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$.

1) $y = \sin x - 1$

Для построения графика функции $y = \sin x - 1$ будем использовать метод преобразования графиков, взяв за основу график функции $y = \sin x$.

1. Построим график основной функции $y = \sin x$. Это синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, и областью значений $[-1, 1]$. График проходит через начало координат.

2. Функция $y = \sin x - 1$ получается из $y = \sin x$ путем вычитания 1. Это преобразование вида $y = f(x) + D$ с $D = -1$, которое соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика вдоль оси ординат (OY) на $|D|$ единиц.

3. Так как $D = -1$, сдвиг осуществляется на 1 единицу вниз. Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на 1 единицу вниз.

Ключевые точки преобразуются так:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, -1)$.
• Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в $(\pi, -1)$.
• Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.
• Точка $(2\pi, 0)$ переходит в $(2\pi, -1)$.

Период функции не изменяется ($T=2\pi$), а область значений становится $[-2, 0]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 1$ получается из графика $y = \sin x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

2) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ за основу берется график функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y = \sin x$.

2. Данная функция имеет вид $y = f(x - C)$, где $C = \frac{\pi}{6}$. Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси абсцисс (OX).

3. Поскольку $C = \frac{\pi}{6} > 0$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

Ключевые точки преобразуются так:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{6}, 0)$.
• Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{2\pi}{3}, 1)$.
• Точка $(\pi, 0)$ переходит в $(\pi + \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{7\pi}{6}, 0)$.
• Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{5\pi}{3}, -1)$.
• Точка $(2\pi, 0)$ переходит в $(2\pi + \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{13\pi}{6}, 0)$.

Период, амплитуда и область значений функции остаются без изменений.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо вдоль оси OX.

3) $y = -\sin 4x$

Построение графика функции $y = -\sin 4x$ выполним в несколько шагов, исходя из графика $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y = \sin x$.

2. Преобразуем аргумент: $y = \sin 4x$. Это преобразование вида $y = f(Bx)$ с $B = 4$. Оно соответствует сжатию графика вдоль оси OX в 4 раза. Период функции уменьшается в 4 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

3. Применяем знак минус: $y = -\sin 4x$. Это преобразование вида $y = -f(x)$, которое соответствует симметричному отражению графика относительно оси OX. Все положительные значения функции становятся отрицательными, а отрицательные — положительными.

Таким образом, для построения графика нужно:

• Взять график $y = \sin x$.
• Сжать его по горизонтали в 4 раза, получив график $y = \sin 4x$. Один полный период теперь укладывается в отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.
• Отразить полученный график симметрично относительно оси OX.

Ключевые точки на одном периоде $[0, \frac{\pi}{2}]$:

• Начало в $(0, 0)$.
• Минимум в $(\frac{\pi}{8}, -1)$.
• Пересечение оси ОХ в $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Максимум в $(\frac{3\pi}{8}, 1)$.
• Конец периода в $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Ответ: График функции $y = -\sin 4x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия в 4 раза вдоль оси OX с последующим симметричным отражением относительно оси OX.

4) $y = 2\sin x$

Для построения графика функции $y = 2\sin x$ за основу берется график функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y = \sin x$.

2. Данная функция имеет вид $y = A f(x)$ с $A = 2$. Это преобразование соответствует растяжению графика вдоль оси OY.

3. Поскольку $A = 2 > 1$, происходит растяжение графика от оси OX в 2 раза. Каждая ордината (значение y) графика $y = \sin x$ умножается на 2.

Амплитуда функции увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$. Нули функции (точки пересечения с осью OX) остаются на своих местах.

Ключевые точки преобразуются так:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте $(0, 0)$.
• Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}, 2)$.
• Точка $(\pi, 0)$ остается на месте $(\pi, 0)$.
• Точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.
• Точка $(2\pi, 0)$ остается на месте $(2\pi, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси OY.

5) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$

График данной функции можно построить, последовательно применяя преобразования к графику $y = \sin x$.

1. Основа: строим график функции $y = \sin x$.

2. Сдвиг по горизонтали: строим график $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Для этого сдвигаем график $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо (как в пункте 2).

3. Растяжение по вертикали: строим график $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Для этого растягиваем предыдущий график в 2 раза вдоль оси OY (как в пункте 4). Амплитуда становится равной 2. Область значений $[-2, 2]$.

4. Сдвиг по вертикали: строим итоговый график $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$. Для этого сдвигаем предыдущий график на 1 единицу вниз (как в пункте 1).

Итоговые характеристики функции:

• Амплитуда: $A = 2$.
• Период: $T = 2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
• Вертикальный сдвиг: 1 вниз.
• Область значений: $[-2-1, 2-1] = [-3, 1]$.
• Средняя линия: $y = -1$.

Проследим за одной из ключевых точек, например, началом синусоиды $(0, 0)$ на графике $y=\sin x$:

1. $y = \sin x$: точка $(0,0)$.
2. $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$: сдвиг вправо $\rightarrow (\frac{\pi}{6}, 0)$.
3. $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$: растяжение $\rightarrow (\frac{\pi}{6}, 2 \cdot 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$.
4. $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$: сдвиг вниз $\rightarrow (\frac{\pi}{6}, 0 - 1) = (\frac{\pi}{6}, -1)$.

Аналогично для точки максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$:

1. $y = \sin x$: точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
2. Сдвиг вправо $\rightarrow (\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{2\pi}{3}, 1)$.
3. Растяжение $\rightarrow (\frac{2\pi}{3}, 2)$.
4. Сдвиг вниз $\rightarrow (\frac{2\pi}{3}, 1)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1$ получается из графика $y = \sin x$ путем последовательного выполнения следующих преобразований: сдвиг на $\frac{\pi}{6}$ вправо, растяжение в 2 раза вдоль оси OY и сдвиг на 1 единицу вниз.

172. Постройте график функции:

1) $y = \cos x + 1;$

2) $y = \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right);$

3) $y = \cos \frac{x}{2};$

4) $y = -3\cos x;$

5) $y = -3\cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 1.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \cos x$. График функции $y = \cos x$ — это косинусоида с периодом $T = 2\pi$, амплитудой $A=1$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$.

1) $y = \cos x + 1$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 1 единицу вверх.

Построение:

1. Строим график функции $y = \cos x$. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: максимум в $(0, 1)$, нули в $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, минимум в $(\pi, -1)$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на 1 единицу вверх.

Таким образом, ключевые точки нового графика будут:

• Максимум: $(0, 1+1) = (0, 2)$
• Точки пересечения с линией $y=1$: $(\frac{\pi}{2}, 0+1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0+1) = (\frac{3\pi}{2}, 1)$
• Минимум: $(\pi, -1+1) = (\pi, 0)$

Период функции остается $2\pi$, а область значений становится $[0, 2]$.

Ответ: График функции $y = \cos x + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

2) $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо.

Построение:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо.

Ключевые точки графика $y = \cos x$ смещаются:

• Максимум $(0, 1)$ смещается в точку $(0 + \frac{2\pi}{3}, 1) = (\frac{2\pi}{3}, 1)$.
• Нуль $(\frac{\pi}{2}, 0)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}, 0) = (\frac{7\pi}{6}, 0)$.
• Минимум $(\pi, -1)$ смещается в точку $(\pi + \frac{2\pi}{3}, -1) = (\frac{5\pi}{3}, -1)$.

Период, амплитуда и область значений остаются такими же, как у $y = \cos x$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на $\frac{2\pi}{3}$ вправо вдоль оси $Ox$.

3) $y = \cos\frac{x}{2}$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза.

Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. "Растягиваем" его от оси $Oy$ в 2 раза. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \cos x$ переходит в точку $(2x, y)$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$:

• Максимум в $(0, 1)$.
• Нули в $(\pi, 0)$ и $(3\pi, 0)$.
• Минимум в $(2\pi, -1)$.

Амплитуда и область значений не изменяются.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ получается путем растяжения графика функции $y = \cos x$ в 2 раза вдоль оси $Ox$.

4) $y = -3\cos x$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ в два шага:

1. Растяжение вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Это преобразование изменяет амплитуду с 1 на 3. Получаем график функции $y = 3\cos x$. Область значений становится $[-3, 3]$.
2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$. Это преобразование меняет знак функции. Максимумы становятся минимумами и наоборот.

Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$:

• Точка $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0, -3 \cdot 1) = (0, -3)$ (минимум).
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ остается на месте $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• Точка $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, -3 \cdot (-1)) = (\pi, 3)$ (максимум).

Период функции остается $2\pi$. Амплитуда равна 3, область значений $[-3, 3]$.

Ответ: График функции $y = -3\cos x$ получается путем растяжения графика функции $y = \cos x$ в 3 раза вдоль оси $Oy$ с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

5) $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3}) + 1$

Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем последовательного выполнения нескольких преобразований:

1. Сдвиг вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{2\pi}{3}$. Получаем $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3})$.
2. Растяжение вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Получаем $y = 3\cos(x - \frac{2\pi}{3})$.
3. Симметричное отражение относительно оси $Ox$. Получаем $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3})$.
4. Сдвиг вверх вдоль оси $Oy$ на 1 единицу. Получаем $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3}) + 1$.

Проследим за ключевыми точками графика $y = \cos x$:

• Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(\frac{2\pi}{3}, -3 \cdot 1 + 1) = (\frac{2\pi}{3}, -2)$ (минимум).
• Нуль $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}, -3 \cdot 0 + 1) = (\frac{7\pi}{6}, 1)$ (точка на средней линии).
• Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi+\frac{2\pi}{3}, -3 \cdot (-1) + 1) = (\frac{5\pi}{3}, 4)$ (максимум).

Период функции $T=2\pi$. Амплитуда $A=3$. График колеблется вокруг прямой $y=1$. Область значений: $[1-3, 1+3] = [-2, 4]$.

Ответ: График функции $y = -3\cos(x - \frac{2\pi}{3}) + 1$ получается из графика $y = \cos x$ путем сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ вправо, растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$, отражения относительно оси $Ox$ и сдвига на 1 единицу вверх.