Страница 130 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $10^\circ$;

2) $54^\circ$;

3) $125^\circ$;

4) $270^\circ$.

Для перевода угла из градусной меры в радианную используется основное соотношение: $180° = \pi$ радиан. Из этого соотношения следует формула для перевода:

$α_{рад} = α_{град} \cdot \frac{\pi}{180°}$

где $α_{рад}$ — это мера угла в радианах, а $α_{град}$ — это мера угла в градусах.

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

1)

Для угла 10°:

$10° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{10\pi}{180} = \frac{\pi}{18}$

Ответ: $\frac{\pi}{18}$ рад.

2)

Для угла 54°:

$54° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{54\pi}{180}$

Сократим дробь $\frac{54}{180}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 18:

$\frac{54 \div 18}{180 \div 18} = \frac{3}{10}$

Следовательно, радианная мера равна $\frac{3\pi}{10}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{10}$ рад.

3)

Для угла 125°:

$125° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{125\pi}{180}$

Сократим дробь $\frac{125}{180}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{125 \div 5}{180 \div 5} = \frac{25}{36}$

Следовательно, радианная мера равна $\frac{25\pi}{36}$.

Ответ: $\frac{25\pi}{36}$ рад.

4)

Для угла 270°:

$270° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{270\pi}{180}$

Сократим дробь $\frac{270}{180}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 90:

$\frac{270 \div 90}{180 \div 90} = \frac{3}{2}$

Следовательно, радианная мера равна $\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$ рад.

141. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{15}$;

2) $\frac{2\pi}{3}$;

3) $1\frac{5}{6}\pi$;

4) $4\pi$.

Для того чтобы перевести радианную меру угла в градусную, необходимо использовать основное соотношение: $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $. Из этого соотношения следует, что 1 радиан равен $ \frac{180^\circ}{\pi} $. Таким образом, для перевода значения угла из радиан в градусы, нужно умножить это значение на $ \frac{180^\circ}{\pi} $.

1) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $ \frac{\pi}{15} $.

Выполним вычисление:

$ \frac{\pi}{15} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ $.

Ответ: $ 12^\circ $.

2) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $ \frac{2\pi}{3} $.

Выполним вычисление:

$ \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $.

Ответ: $ 120^\circ $.

3) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $ 1\frac{5}{6}\pi $.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$ 1\frac{5}{6}\pi = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6}\pi = \frac{11\pi}{6} $.

Теперь выполним вычисление:

$ \frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{11 \cdot 180^\circ}{6} = 11 \cdot 30^\circ = 330^\circ $.

Ответ: $ 330^\circ $.

4) Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна $ 4\pi $.

Выполним вычисление:

$ 4\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ $.

Ответ: $ 720^\circ $.

142. Радиус окружности равен 4 см. Чему равна длина дуги окружности, радианная мера которой составляет:

1) $ \frac{\pi}{3} $;

2) $ \frac{7\pi}{6} $;

3) $3$?

Для вычисления длины дуги окружности используется формула $L = R \cdot \alpha$, где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — радианная мера центрального угла, соответствующего этой дуге. По условию задачи, радиус окружности $R = 4$ см.

1)
Найдем длину дуги, радианная мера которой равна $\frac{\pi}{3}$.
Подставим известные значения в формулу:
$L = 4 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$ см.

2)
Найдем длину дуги, радианная мера которой равна $\frac{7\pi}{6}$.
Подставим известные значения в формулу:
$L = 4 \cdot \frac{7\pi}{6} = \frac{28\pi}{6} = \frac{14\pi}{3}$ см.
Ответ: $\frac{14\pi}{3}$ см.

3)
Найдем длину дуги, радианная мера которой равна 3.
Подставим известные значения в формулу:
$L = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Ответ: 12 см.

143. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $126^\circ$;

2) $-110^\circ$;

3) $620^\circ$;

4) $-29^\circ$;

5) $ \frac{\pi}{5} $;

6) $ \frac{4\pi}{3} $;

7) $ -\frac{7\pi}{6} $;

8) $ -0,8\pi $;

9) $4$;

10) $-5$?

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности, нужно проанализировать угол поворота. Отсчет углов начинается от точки $P_0(1; 0)$ против часовой стрелки (положительное направление).

• I четверть: от $0°$ до $90°$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
• II четверть: от $90°$ до $180°$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
• III четверть: от $180°$ до $270°$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
• IV четверть: от $270°$ до $360°$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке.

1) 126°

Угол $\alpha = 126°$. Так как $90° < 126° < 180°$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) -110°

Угол $\alpha = -110°$. Поворот по часовой стрелке. Этому углу соответствует положительный угол $360° - 110° = 250°$. Так как $180° < 250° < 270°$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

3) 620°

Угол $\alpha = 620°$. Так как угол больше $360°$, найдем соответствующий ему угол в пределах одного оборота: $620° - 360° = 260°$. Так как $180° < 260° < 270°$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

4) -29°

Угол $\alpha = -29°$. Поворот по часовой стрелке. Так как $-90° < -29° < 0°$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

5) $\frac{\pi}{5}$

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$ радиан. Границы первой четверти в радианах: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Поскольку $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ (так как $1/5 < 1/2$), точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

6) $\frac{4\pi}{3}$

Угол $\alpha = \frac{4\pi}{3}$ радиан. Границы третьей четверти: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Сравним $\frac{4\pi}{3}$ с границами: $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$. Угол $\frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$. Так как $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

7) $-\frac{7\pi}{6}$

Угол $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ радиан. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi$: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Границы второй четверти: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

8) -0,8π

Угол $\alpha = -0,8\pi$ радиан. Поворот по часовой стрелке. Границы третьей четверти для отрицательных углов: от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$ (то есть от $-1\pi$ до $-0,5\pi$). Так как $-\pi < -0,8\pi < -0,5\pi$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

9) 4

Угол $\alpha = 4$ радиана. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$. Тогда границы четвертей в радианах примерно равны: I ($0 - 1,57$), II ($1,57 - 3,14$), III ($3,14 - 4,71$), IV ($4,71 - 6,28$). Так как $\pi \approx 3,14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

10) -5

Угол $\alpha = -5$ радиан. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi$: $-5 + 2\pi \approx -5 + 2 \times 3,1416 = -5 + 6,2832 = 1,2832$ радиан. Так как $0 < 1,2832 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

144. Углы треугольника относятся как $3 : 4 : 5$. Найдите радианные меры его углов.

Пусть углы треугольника равны $3x$, $4x$ и $5x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Сумма углов в треугольнике равна $\pi$ радиан. Составим и решим уравнение:

$3x + 4x + 5x = \pi$

$12x = \pi$

$x = \frac{\pi}{12}$

Теперь найдем радианные меры каждого угла, подставив найденное значение $x$:
Первый угол: $3x = 3 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$
Второй угол: $4x = 4 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$
Третий угол: $5x = 5 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{12}$.

145. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точку $P_0 (0; -1)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(0; 1)$;

2) $(1; 0)$;

3) $(-1; 0)$;

4) $(0; -1)$.

Для решения задачи представим точки на единичной окружности. Исходная точка $P_0(0; -1)$ находится в нижней части окружности и соответствует углу $\alpha_0 = -90^\circ$ или, в радианах, $\alpha_0 = -\frac{\pi}{2}$. Поворот на положительный угол осуществляется против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

Угол поворота $\alpha$, который переводит точку с начальным углом $\alpha_0$ в точку с конечным углом $\alpha_f$, можно найти по общей формуле $\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 360^\circ \cdot k$ (в градусах) или $\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k$ (в радианах), где $k$ — любое целое число. Нам нужно найти наименьшее положительное значение $\alpha$ и наибольшее отрицательное (т.е. ближайшее к нулю) значение $\alpha$, подбирая соответствующее целое число $k$.

1) (0; 1)

Конечная точка $P_1(0; 1)$ находится в верхней части окружности и соответствует углу $\alpha_1 = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = 90^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 180^\circ + 360^\circ \cdot k$. Чтобы найти наименьший положительный угол, возьмем $k=0$: $\alpha = 180^\circ$. Чтобы найти наибольший отрицательный угол, возьмем $k=-1$: $\alpha = 180^\circ - 360^\circ = -180^\circ$. В радианах: $\alpha = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = \pi + 2\pi k$. При $k=0$, $\alpha = \pi$. При $k=-1$, $\alpha = \pi - 2\pi = -\pi$.

Ответ: наименьший положительный угол $180^\circ$ (или $\pi$ радиан), наибольший отрицательный угол $-180^\circ$ (или $-\pi$ радиан).

2) (1; 0)

Конечная точка $P_2(1; 0)$ находится в правой части окружности и соответствует углу $\alpha_2 = 0^\circ$ (или $0$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = 0^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 90^\circ + 360^\circ \cdot k$. Наименьший положительный угол получается при $k=0$: $\alpha = 90^\circ$. Наибольший отрицательный угол получается при $k=-1$: $\alpha = 90^\circ - 360^\circ = -270^\circ$. В радианах: $\alpha = 0 - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$, $\alpha = \frac{\pi}{2}$. При $k=-1$, $\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: наименьший положительный угол $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), наибольший отрицательный угол $-270^\circ$ (или $-\frac{3\pi}{2}$ радиан).

3) (-1; 0)

Конечная точка $P_3(-1; 0)$ находится в левой части окружности и соответствует углу $\alpha_3 = 180^\circ$ (или $\pi$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = 180^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 270^\circ + 360^\circ \cdot k$. Наименьший положительный угол получается при $k=0$: $\alpha = 270^\circ$. Наибольший отрицательный угол получается при $k=-1$: $\alpha = 270^\circ - 360^\circ = -90^\circ$. В радианах: $\alpha = \pi - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$, $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. При $k=-1$, $\alpha = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: наименьший положительный угол $270^\circ$ (или $\frac{3\pi}{2}$ радиан), наибольший отрицательный угол $-90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан).

4) (0; -1)

Конечная точка $P_4(0; -1)$ совпадает с начальной, $P_4 = P_0$. Угол, соответствующий этой точке, $\alpha_4 = -90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = -90^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 360^\circ \cdot k$. Чтобы найти наименьший положительный угол, нужно взять наименьшее целое $k > 0$, то есть $k=1$: $\alpha = 360^\circ$. Чтобы найти наибольший отрицательный угол, нужно взять наибольшее целое $k < 0$, то есть $k=-1$: $\alpha = -360^\circ$. В радианах: $\alpha = 2\pi k$. При $k=1$, $\alpha = 2\pi$. При $k=-1$, $\alpha = -2\pi$.

Ответ: наименьший положительный угол $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), наибольший отрицательный угол $-360^\circ$ (или $-2\pi$ радиан).

146. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку$P_0(-1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

2) $P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Для решения этой задачи мы будем работать с точками на единичной окружности. Положение точки на такой окружности можно описать углом, который образует радиус-вектор этой точки с положительным направлением оси Ox. Координаты точки $P(x,y)$ связаны с углом $\alpha$ следующими соотношениями: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Угол поворота, переводящий начальную точку $P_0$ (соответствующую углу $\alpha_0$) в конечную точку $P_1$ (соответствующую углу $\alpha_1$), равен разности этих углов: $\phi = \alpha_1 - \alpha_0$. Поскольку угол можно измерять с точностью до целого числа полных оборотов ($2\pi$ радиан или $360^\circ$), мы должны найти общее решение.

Сначала определим угол, соответствующий начальной точке $P_0(-1; 0)$.

$\cos \alpha_0 = -1$

$\sin \alpha_0 = 0$

Этим условиям соответствует множество углов $\alpha_0 = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Найдем угол $\alpha_1$, соответствующий конечной точке $P_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

$\cos \alpha_1 = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Точка с такими координатами находится в IV четверти. Этим условиям соответствует множество углов $\alpha_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все возможные углы поворота $\phi_1$, вычитая из угла конечной точки угол начальной точки:

$\phi_1 = \alpha_1 - \alpha_0 = \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi m\right) - \left(\pi + 2\pi k\right) = -\frac{\pi}{3} - \pi + 2\pi(m-k)$

Поскольку $m$ и $k$ — любые целые числа, их разность $m-k$ также является любым целым числом. Обозначим $n = m-k$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\phi_1 = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем угол $\alpha_2$, соответствующий конечной точке $P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\cos \alpha_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \alpha_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка с такими координатами находится во II четверти. Этим условиям соответствует множество углов $\alpha_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все возможные углы поворота $\phi_2$, вычитая из угла конечной точки угол начальной точки:

$\phi_2 = \alpha_2 - \alpha_0 = \left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi m\right) - \left(\pi + 2\pi k\right) = \frac{3\pi}{4} - \pi + 2\pi(m-k)$

Обозначим $n = m-k$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\phi_2 = \frac{3\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

147. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k;$

2) $\frac{\pi}{6} + 4\pi k, k \in Z;$

3) $-\pi + \pi k, k \in Z;$

4) $\frac{\pi k}{3}, k \in Z.$

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$

Поскольку слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов (период функций синус и косинус), положение точки на окружности определяется только углом $\frac{\pi}{4}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

При любом целом значении $k$ мы получаем одну и ту же точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) $\frac{\pi}{6} + 4\pi k, k \in Z$

Аналогично первому случаю, $4\pi k$ представляет собой целое число двойных оборотов ($4\pi k = 2 \cdot (2\pi k)$). Поэтому положение точки определяется только углом $\frac{\pi}{6}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{6} + 4\pi k) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{6} + 4\pi k) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

При любом целом значении $k$ мы получаем одну и ту же точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.

3) $-\pi + \pi k, k \in Z$

В этом случае слагаемое $\pi k$ означает добавление целого числа полуоборотов. Рассмотрим два случая для $k$: четное и нечетное.

Если $k$ - четное число, то $k = 2n$, где $n \in Z$. Угол равен $-\pi + \pi(2n) = -\pi + 2\pi n$.

$x = \cos(-\pi + 2\pi n) = \cos(-\pi) = -1$

$y = \sin(-\pi + 2\pi n) = \sin(-\pi) = 0$

Получаем точку $(-1; 0)$.

Если $k$ - нечетное число, то $k = 2n + 1$, где $n \in Z$. Угол равен $-\pi + \pi(2n + 1) = -\pi + 2\pi n + \pi = 2\pi n$.

$x = \cos(2\pi n) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(2\pi n) = \sin(0) = 0$

Получаем точку $(1; 0)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

4) $\frac{\pi k}{3}, k \in Z$

Будем подставлять различные целые значения $k$ и находить координаты до тех пор, пока точки не начнут повторяться. Период повторения для угла $\frac{\pi k}{3}$ будет $2\pi$, что соответствует $\frac{\pi k}{3} = 2\pi \implies k=6$. Значит, существует 6 уникальных точек, соответствующих $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$.

При $k=0$: угол $0$. Координаты: $(\cos(0); \sin(0)) = (1; 0)$.

При $k=1$: угол $\frac{\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{3}); \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=2$: угол $\frac{2\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{2\pi}{3}); \sin(\frac{2\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=3$: угол $\frac{3\pi}{3} = \pi$. Координаты: $(\cos(\pi); \sin(\pi)) = (-1; 0)$.

При $k=4$: угол $\frac{4\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{4\pi}{3}); \sin(\frac{4\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=5$: угол $\frac{5\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{3}); \sin(\frac{5\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=6$ угол равен $2\pi$, что соответствует той же точке, что и при $k=0$. Далее точки будут циклически повторяться.

Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

148. Найдите площадь сектора круга радиуса 6 см, если радианная мера дуги, соответствующей этому сектору, составляет:

1) $\frac{2\pi}{3}$;

2) $\frac{5\pi}{9}$;

3) $\frac{7\pi}{5}$;

4) 4.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле, когда угол дан в радианах:

$S = \frac{1}{2}R^2\alpha$

где $R$ — это радиус круга, а $\alpha$ — это радианная мера дуги (центрального угла).

По условию задачи, радиус круга $R = 6$ см. Подставим это значение в формулу для нахождения площади сектора:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \alpha = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \alpha = 18\alpha$ см$^2$.

Теперь вычислим площадь для каждого заданного значения угла $\alpha$.

1) Для $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:

$S = 18 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{18 \cdot 2\pi}{3} = 6 \cdot 2\pi = 12\pi$ см$^2$.

Ответ: $12\pi$ см$^2$.

2) Для $\alpha = \frac{5\pi}{9}$:

$S = 18 \cdot \frac{5\pi}{9} = \frac{18 \cdot 5\pi}{9} = 2 \cdot 5\pi = 10\pi$ см$^2$.

Ответ: $10\pi$ см$^2$.

3) Для $\alpha = \frac{7\pi}{5}$:

$S = 18 \cdot \frac{7\pi}{5} = \frac{126\pi}{5} = 25,2\pi$ см$^2$.

Ответ: $25,2\pi$ см$^2$.

4) Для $\alpha = 4$:

$S = 18 \cdot 4 = 72$ см$^2$.

Ответ: $72$ см$^2$.