Номер 143, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $126^\circ$;

2) $-110^\circ$;

3) $620^\circ$;

4) $-29^\circ$;

5) $ \frac{\pi}{5} $;

6) $ \frac{4\pi}{3} $;

7) $ -\frac{7\pi}{6} $;

8) $ -0,8\pi $;

9) $4$;

10) $-5$?

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности, нужно проанализировать угол поворота. Отсчет углов начинается от точки $P_0(1; 0)$ против часовой стрелки (положительное направление).

• I четверть: от $0°$ до $90°$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
• II четверть: от $90°$ до $180°$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
• III четверть: от $180°$ до $270°$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
• IV четверть: от $270°$ до $360°$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке.

1) 126°

Угол $\alpha = 126°$. Так как $90° < 126° < 180°$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) -110°

Угол $\alpha = -110°$. Поворот по часовой стрелке. Этому углу соответствует положительный угол $360° - 110° = 250°$. Так как $180° < 250° < 270°$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

3) 620°

Угол $\alpha = 620°$. Так как угол больше $360°$, найдем соответствующий ему угол в пределах одного оборота: $620° - 360° = 260°$. Так как $180° < 260° < 270°$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

4) -29°

Угол $\alpha = -29°$. Поворот по часовой стрелке. Так как $-90° < -29° < 0°$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

5) $\frac{\pi}{5}$

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$ радиан. Границы первой четверти в радианах: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Поскольку $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ (так как $1/5 < 1/2$), точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

6) $\frac{4\pi}{3}$

Угол $\alpha = \frac{4\pi}{3}$ радиан. Границы третьей четверти: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Сравним $\frac{4\pi}{3}$ с границами: $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$. Угол $\frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$. Так как $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

7) $-\frac{7\pi}{6}$

Угол $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ радиан. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi$: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Границы второй четверти: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

8) -0,8π

Угол $\alpha = -0,8\pi$ радиан. Поворот по часовой стрелке. Границы третьей четверти для отрицательных углов: от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$ (то есть от $-1\pi$ до $-0,5\pi$). Так как $-\pi < -0,8\pi < -0,5\pi$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

9) 4

Угол $\alpha = 4$ радиана. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$. Тогда границы четвертей в радианах примерно равны: I ($0 - 1,57$), II ($1,57 - 3,14$), III ($3,14 - 4,71$), IV ($4,71 - 6,28$). Так как $\pi \approx 3,14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

10) -5

Угол $\alpha = -5$ радиан. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi$: $-5 + 2\pi \approx -5 + 2 \times 3,1416 = -5 + 6,2832 = 1,2832$ радиан. Так как $0 < 1,2832 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.