Номер 149, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Найдите значение выражения:

1) $6\sin 270^\circ - 3\cos 0^\circ + 4\operatorname{ctg} 90^\circ;$

2) $5\cos \frac{3\pi}{2} - 7\sin \frac{3\pi}{2} + \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2};$

3) $\cos 30^\circ \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{ctg} 45^\circ;$

4) $\frac{\left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6}\right) \cdot 4\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{\cos \pi + 2\sin \frac{\pi}{2}};$

5) $\sqrt{\left(\operatorname{ctg} 30^\circ + 2\right)^2} + \sqrt{\left(\operatorname{tg} 60^\circ - 2\right)^2}.$

1) $6\sin{270^\circ} - 3\cos{0^\circ} + 4\operatorname{ctg}{90^\circ}$

Найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\sin{270^\circ} = -1$

$\cos{0^\circ} = 1$

$\operatorname{ctg}{90^\circ} = \frac{\cos{90^\circ}}{\sin{90^\circ}} = \frac{0}{1} = 0$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$6 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -6 - 3 + 0 = -9$

Ответ: $-9$

2) $5\cos{\frac{3\pi}{2}} - 7\sin{\frac{3\pi}{2}} + \operatorname{ctg}{\frac{3\pi}{2}}$

Найдем значения тригонометрических функций для заданного угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $270^\circ$):

$\cos{\frac{3\pi}{2}} = 0$

$\sin{\frac{3\pi}{2}} = -1$

$\operatorname{ctg}{\frac{3\pi}{2}} = \frac{\cos{\frac{3\pi}{2}}}{\sin{\frac{3\pi}{2}}} = \frac{0}{-1} = 0$

Подставим значения в выражение:

$5 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 0 = 0 + 7 + 0 = 7$

Ответ: $7$

3) $\cos{30^\circ}\operatorname{tg}{60^\circ}\operatorname{ctg}{45^\circ}$

Найдем значения тригонометрических функций из таблицы:

$\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}{60^\circ} = \sqrt{3}$

$\operatorname{ctg}{45^\circ} = 1$

Перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $\frac{3}{2}$

4) $\frac{(\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{\pi}{6}}) \cdot 4\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\pi} + 2\sin{\frac{\pi}{2}}}$

Найдем значения всех тригонометрических функций в выражении:

$\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}$

$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

$\cos{\pi} = -1$

$\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$

Теперь подставим эти значения в выражение. Сначала вычислим числитель:

$(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 4 \cdot 1 = (\frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 4 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$

Теперь вычислим знаменатель:

$-1 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$

Найдем значение дроби:

$\frac{6\sqrt{3}}{1} = 6\sqrt{3}$

Ответ: $6\sqrt{3}$

5) $\sqrt{(\operatorname{ctg}{30^\circ} + 2)^2} + \sqrt{(\operatorname{tg}{60^\circ} - 2)^2}$

Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$).

$\sqrt{(\operatorname{ctg}{30^\circ} + 2)^2} + \sqrt{(\operatorname{tg}{60^\circ} - 2)^2} = |\operatorname{ctg}{30^\circ} + 2| + |\operatorname{tg}{60^\circ} - 2|$

Найдем значения тригонометрических функций:

$\operatorname{ctg}{30^\circ} = \sqrt{3}$

$\operatorname{tg}{60^\circ} = \sqrt{3}$

Подставим значения в выражение:

$|\sqrt{3} + 2| + |\sqrt{3} - 2|$

Оценим значения выражений под знаком модуля. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Выражение $\sqrt{3} + 2 \approx 1.732 + 2 = 3.732$, что больше нуля. Следовательно, $|\sqrt{3} + 2| = \sqrt{3} + 2$.

Выражение $\sqrt{3} - 2 \approx 1.732 - 2 = -0.268$, что меньше нуля. Следовательно, $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$(\sqrt{3} + 2) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3} = 4$

Ответ: $4$