Номер 154, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Найдите область значений выражения:

1) $\frac{1}{2 - \sin 3x}$;

2) $2 - 3|\cos 5x|$;

3) $\frac{1}{1 + \cos 2x}$;

4) $\text{tg}^2 x + 2.$

1) Для нахождения области значений выражения $ \frac{1}{2 - \sin 3x} $ сначала определим область значений знаменателя. Область значений функции синус от любого аргумента — это отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, $ -1 \le \sin 3x \le 1 $.
Далее выполним преобразования:
1. Умножим неравенство на $-1$, изменив знаки на противоположные: $ 1 \ge -\sin 3x \ge -1 $.
2. Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $ 2+1 \ge 2 - \sin 3x \ge 2-1 $, что равносильно $ 3 \ge 2 - \sin 3x \ge 1 $.
Итак, знаменатель $ 2 - \sin 3x $ принимает значения в отрезке $ [1, 3] $.
Поскольку знаменатель всегда положителен, мы можем найти область значений дроби. Функция $ y = \frac{1}{t} $ является убывающей при $ t > 0 $.
Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении знаменателя: $ \frac{1}{1} = 1 $.
Наименьшее значение дроби достигается при наибольшем значении знаменателя: $ \frac{1}{3} $.
Следовательно, область значений выражения — это отрезок $ [\frac{1}{3}, 1] $.
Ответ: $ [\frac{1}{3}, 1] $.

2) Для нахождения области значений выражения $ 2 - 3|\cos 5x| $ начнем с области значений косинуса. Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, $ -1 \le \cos 5x \le 1 $.
1. Возьмем модуль от косинуса. Так как $ \cos 5x $ находится в пределах от -1 до 1, его модуль будет находиться в пределах от 0 до 1: $ 0 \le |\cos 5x| \le 1 $.
2. Умножим неравенство на $-3$, изменив знаки на противоположные: $ 0 \cdot (-3) \ge -3|\cos 5x| \ge 1 \cdot (-3) $, что равносильно $ 0 \ge -3|\cos 5x| \ge -3 $.
3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $ 2+0 \ge 2 - 3|\cos 5x| \ge 2-3 $, что равносильно $ 2 \ge 2 - 3|\cos 5x| \ge -1 $.
Следовательно, область значений выражения — это отрезок $ [-1, 2] $.
Ответ: $ [-1, 2] $.

3) Для нахождения области значений выражения $ \frac{1}{1 + \cos 2x} $ сначала определим область значений знаменателя. Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $. Таким образом, $ -1 \le \cos 2x \le 1 $.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $ 1-1 \le 1 + \cos 2x \le 1+1 $, что равносильно $ 0 \le 1 + \cos 2x \le 2 $.
Знаменатель $ 1 + \cos 2x $ принимает значения в отрезке $ [0, 2] $.
Выражение не определено, когда знаменатель равен нулю, то есть при $ 1 + \cos 2x = 0 $, или $ \cos 2x = -1 $. Поэтому знаменатель может принимать любые значения из полуинтервала $ (0, 2] $.
Пусть $ t = 1 + \cos 2x $, тогда $ t \in (0, 2] $.
Наименьшее значение выражение $ \frac{1}{t} $ примет при наибольшем значении $ t $, то есть при $ t=2 $. Это значение равно $ \frac{1}{2} $.
Когда значение $ t $ стремится к нулю справа (т.е. $ t \to 0+ $), значение выражения $ \frac{1}{t} $ стремится к $ +\infty $.
Следовательно, область значений выражения — это луч $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.
Ответ: $ [\frac{1}{2}, +\infty) $.

4) Для нахождения области значений выражения $ \text{tg}^2 x + 2 $ начнем с области значений тангенса. Область значений функции $ \text{tg} x $ — это все действительные числа, то есть $ (-\infty, +\infty) $.
1. Возведем тангенс в квадрат. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. Следовательно, $ \text{tg}^2 x $ принимает значения в промежутке $ [0, +\infty) $.
$ 0 \le \text{tg}^2 x < +\infty $.
2. Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $ 0+2 \le \text{tg}^2 x + 2 < +\infty $, что равносильно $ 2 \le \text{tg}^2 x + 2 < +\infty $.
Следовательно, область значений выражения — это луч $ [2, +\infty) $.
Ответ: $ [2, +\infty) $.