Номер 158, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Сравните:

1) $\cos 70^\circ$ и $\sin 340^\circ$;

2) $\tan 100^\circ$ и $\cot (-100^\circ)$;

3) $\cot \frac{5\pi}{4}$ и $\cos \frac{5\pi}{6}$;

4) $\cos 6$ и $\sin 4$.

1) cos 70° и sin 340°

Определим знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

Угол 70° находится в I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $cos 70° > 0$.

Угол 340° находится в IV четверти ($270° < 340° < 360°$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin 340° < 0$.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому $cos 70° > sin 340°$.

Также можно привести оба выражения к одной функции. Например, используя формулы приведения:
$sin 340° = sin(360° - 20°) = -sin 20°$
$cos 70° = cos(90° - 20°) = sin 20°$
Так как угол 20° находится в I четверти, $sin 20°$ — положительное число. Сравнивая $sin 20°$ и $-sin 20°$, получаем $sin 20° > -sin 20°$, а значит и $cos 70° > sin 340°$.

Ответ: $cos 70° > sin 340°$.

2) tg 100° и ctg (−100°)

Определим знаки тригонометрических функций.

Угол 100° находится во II четверти ($90° < 100° < 180°$), где тангенс отрицателен. Следовательно, $tg 100° < 0$.

Котангенс является нечетной функцией, поэтому $ctg(-100°) = -ctg(100°)$. Угол 100° находится во II четверти, где котангенс также отрицателен, то есть $ctg(100°) < 0$. Тогда выражение $-ctg(100°)$ будет положительным числом. Следовательно, $ctg(-100°) > 0$.

Сравниваем отрицательное число $tg 100°$ и положительное число $ctg(-100°)$.

Ответ: $tg 100° < ctg(-100°)$.

3) ctg (5π/4) и cos (5π/6)

Найдем точные значения выражений с помощью формул приведения.

Для $ctg \frac{5\pi}{4}$:
$ctg \frac{5\pi}{4} = ctg(\pi + \frac{\pi}{4})$. Учитывая, что период котангенса равен $\pi$, получаем $ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg \frac{\pi}{4} = 1$.

Для $cos \frac{5\pi}{6}$:
$cos \frac{5\pi}{6} = cos(\pi - \frac{\pi}{6})$. По формуле приведения $cos(\pi - \alpha) = -cos \alpha$.
Следовательно, $cos \frac{5\pi}{6} = -cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сравним полученные значения: $1$ и $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как $1$ — положительное число, а $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — отрицательное, то $1 > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $ctg \frac{5\pi}{4} > cos \frac{5\pi}{6}$.

4) cos 6 и sin 4

В данном случае углы заданы в радианах. Для определения знаков функций определим, в каких четвертях лежат эти углы. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
$\pi \approx 3,14$
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$
$2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$

Для $cos 6$:
Поскольку $4,71 < 6 < 6,28$, что соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, угол 6 радиан находится в IV четверти. В IV четверти косинус положителен, значит $cos 6 > 0$.

Для $sin 4$:
Поскольку $3,14 < 4 < 4,71$, что соответствует неравенству $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол 4 радиана находится в III четверти. В III четверти синус отрицателен, значит $sin 4 < 0$.

Сравниваем положительное число $cos 6$ и отрицательное число $sin 4$.

Ответ: $cos 6 > sin 4$.