Номер 157, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Определите знак выражения:

1) $ \text{ctg } 204^\circ \text{sin } 164^\circ $

2) $ \text{cos } 100^\circ \text{sin } (-193^\circ) $

3) $ \text{cos } 5 \text{ ctg } 2,4 $.

1) ctg 204°sin 164°
Чтобы определить знак выражения, необходимо определить знак каждого множителя.
Угол $204°$ находится в III координатной четверти, так как $180° < 204° < 270°$. Котангенс в III четверти положителен. Следовательно, $ctg(204°) > 0$.
Угол $164°$ находится во II координатной четверти, так как $90° < 164° < 180°$. Синус во II четверти положителен. Следовательно, $sin(164°) > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+) \cdot (+) = (+)$.
Таким образом, выражение $ctg 204° sin 164°$ положительно.
Ответ: +.

2) cos 100°sin(–193°)
Определим знак каждого множителя.
Угол $100°$ находится во II координатной четверти, так как $90° < 100° < 180°$. Косинус во II четверти отрицателен. Следовательно, $cos(100°) < 0$.
Функция синус является нечетной, поэтому $sin(–193°) = –sin(193°)$.
Угол $193°$ находится в III координатной четверти ($180° < 193° < 270°$), где синус отрицателен, то есть $sin(193°) < 0$.
Тогда $sin(–193°) = –sin(193°)$ будет положительным числом (минус на минус дает плюс). Следовательно, $sin(–193°) > 0$.
Произведение отрицательного числа на положительное является отрицательным числом: $(–) \cdot (+) = (–)$.
Таким образом, выражение $cos 100° sin(–193°)$ отрицательно.
Ответ: –.

3) cos 5 ctg 2,4
Так как в аргументах тригонометрических функций не указан знак градуса (°), углы заданы в радианах. Для определения знаков функций воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3,14$.
Определим знак каждого множителя.
Для угла 5 радиан: $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$. Поскольку $4,71 < 5 < 6,28$ (т.е. $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$), угол в 5 радиан находится в IV координатной четверти. Косинус в IV четверти положителен. Следовательно, $cos(5) > 0$.
Для угла 2,4 радиан: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Поскольку $1,57 < 2,4 < 3,14$ (т.е. $\frac{\pi}{2} < 2,4 < \pi$), угол в 2,4 радиан находится во II координатной четверти. Котангенс во II четверти отрицателен. Следовательно, $ctg(2,4) < 0$.
Произведение положительного числа на отрицательное является отрицательным числом: $(+) \cdot (–) = (–)$.
Таким образом, выражение $cos 5 ctg 2,4$ отрицательно.
Ответ: –.