Номер 153, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. При каких значениях a возможно равенство:

1) $ \sin x = a - 3; $

2) $ \cos x = a^2 + 7a + 11? $

1) sin x = a - 3;

Известно, что область значений функции синус $ \sin x $ находится в пределах от -1 до 1 включительно, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $.

Следовательно, для того чтобы данное равенство было возможно, необходимо, чтобы выражение $ a - 3 $ принадлежало этому промежутку:

$ -1 \le a - 3 \le 1 $

Чтобы найти допустимые значения $ a $, прибавим 3 ко всем частям этого двойного неравенства:

$ -1 + 3 \le a - 3 + 3 \le 1 + 3 $

$ 2 \le a \le 4 $

Таким образом, равенство возможно при значениях $ a $, принадлежащих отрезку $ [2; 4] $.

Ответ: $ a \in [2; 4] $.

2) cos x = a² + 7a + 11?

Аналогично, область значений функции косинус $ \cos x $ также находится в пределах от -1 до 1 включительно: $ -1 \le \cos x \le 1 $.

Следовательно, выражение $ a^2 + 7a + 11 $ должно удовлетворять двойному неравенству:

$ -1 \le a^2 + 7a + 11 \le 1 $

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} a^2 + 7a + 11 \ge -1 \\ a^2 + 7a + 11 \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$ a^2 + 7a + 11 \ge -1 $

$ a^2 + 7a + 12 \ge 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ a^2 + 7a + 12 = 0 $. Используя теорему Виета, находим корни: $ a_1 = -4 $ и $ a_2 = -3 $. Графиком функции $ y = a^2 + 7a + 12 $ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $ y \ge 0 $ выполняется при значениях $ a $ вне интервала между корнями, то есть при $ a \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty) $.

Теперь решим второе неравенство системы:

$ a^2 + 7a + 11 \le 1 $

$ a^2 + 7a + 10 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ a^2 + 7a + 10 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ a_1 = -5 $ и $ a_2 = -2 $. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $ y \le 0 $ выполняется при значениях $ a $ между корнями, включая их: $ a \in [-5; -2] $.

Для нахождения итогового решения необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств:

$ a \in ((-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)) \cap [-5; -2] $

Анализируя числовую прямую, находим, что пересечением является объединение двух отрезков: $ [-5; -4] $ и $ [-3; -2] $.

Ответ: $ a \in [-5; -4] \cup [-3; -2] $.