Номер 156, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Найдите значение выражения:

1) $5\sin(-30^\circ) - 2\operatorname{tg}(-45^\circ) - \cos(-60^\circ);$

2) $\frac{\sin(-60^\circ) \cdot \operatorname{tg}(-45^\circ)}{\cos(-30^\circ)};$

3) $2\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \sin(-\pi) + 5\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right).$

1) $5\sin(-30^\circ) - 2\tg(-45^\circ) - \cos(-60^\circ)$

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:

• синус и тангенс — нечетные функции: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$;
• косинус — четная функция: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

Применим эти свойства к нашему выражению:

$5\sin(-30^\circ) - 2\tg(-45^\circ) - \cos(-60^\circ) = 5(-\sin(30^\circ)) - 2(-\tg(45^\circ)) - \cos(60^\circ) = -5\sin(30^\circ) + 2\tg(45^\circ) - \cos(60^\circ)$.

Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\tg(45^\circ) = 1$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Вычисляем значение выражения:

$-5 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} + 2 - \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} + 2 = -3 + 2 = -1$.

Ответ: -1

2) $\frac{\sin(-60^\circ) \cdot \tg(-45^\circ)}{\cos(-30^\circ)}$

Используем те же свойства четности и нечетности:

$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ)$

$\tg(-45^\circ) = -\tg(45^\circ)$

$\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ)$

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{-\sin(60^\circ) \cdot (-\tg(45^\circ))}{\cos(30^\circ)} = \frac{\sin(60^\circ) \cdot \tg(45^\circ)}{\cos(30^\circ)}$.

Подставим табличные значения:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tg(45^\circ) = 1$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычисляем:

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Ответ: 1

3) $2\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6}) + \sin(-\pi) + 5\sin^2(-\frac{\pi}{3})$

Применим свойства четности и нечетности тригонометрических функций. Тангенс, котангенс и синус — нечетные функции. Также учтем, что $\sin^2(-\alpha) = (\sin(-\alpha))^2 = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha)$.

Выражение преобразуется к виду:

$2(-\tg(\frac{\pi}{3}))(-\ctg(\frac{\pi}{6})) + (-\sin(\pi)) + 5\sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2\tg(\frac{\pi}{3})\ctg(\frac{\pi}{6}) - \sin(\pi) + 5\sin^2(\frac{\pi}{3})$.

Подставим табличные значения (углы в радианах):

$\tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin(\pi) = 0$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Вычисляем значение выражения:

$2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 0 + 5 \cdot \frac{3}{4} = 2 \cdot 3 + \frac{15}{4} = 6 + \frac{15}{4} = \frac{24}{4} + \frac{15}{4} = \frac{39}{4}$.

Ответ: $\frac{39}{4}$