Номер 155, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Какой знак имеет:

1) $\cos 260^\circ$;

2) $\sin 185^\circ$;

3) $\operatorname{ctg} 310^\circ$;

4) $\operatorname{tg} (-220^\circ)$;

5) $\operatorname{tg} 4$;

6) $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{3}$?

1) cos260°
Чтобы определить знак выражения, нужно найти, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол. Углы четвертей: I (от 0° до 90°), II (от 90° до 180°), III (от 180° до 270°), IV (от 270° до 360°).
Угол $260°$ удовлетворяет неравенству $180° < 260° < 270°$. Следовательно, он находится в III четверти.
В III четверти косинус ($\cos$) имеет отрицательный знак.
Значит, $\cos 260° < 0$.
Ответ: минус (-).

2) sin185°
Угол $185°$ удовлетворяет неравенству $180° < 185° < 270°$. Следовательно, он находится в III четверти.
В III четверти синус ($\sin$) имеет отрицательный знак.
Значит, $\sin 185° < 0$.
Ответ: минус (-).

3) ctg310°
Угол $310°$ удовлетворяет неравенству $270° < 310° < 360°$. Следовательно, он находится в IV четверти.
В IV четверти котангенс ($\ctg$), как и тангенс, имеет отрицательный знак (так как $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, а в IV четверти $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha < 0$).
Значит, $\ctg 310° < 0$.
Ответ: минус (-).

4) tg(-220°)
Тангенс — нечетная функция, поэтому $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$. Значит, $\tg(-220°) = -\tg(220°)$.
Угол $220°$ находится в III четверти ($180° < 220° < 270°$), где тангенс положителен ($\tg 220° > 0$).
Следовательно, $-\tg(220°)$ будет иметь отрицательный знак.
Другой способ: найти положительный угол, соответствующий $-220°$, прибавив $360°$: $-220° + 360° = 140°$. Угол $140°$ находится во II четверти ($90° < 140° < 180°$), где тангенс отрицателен.
Значит, $\tg(-220°) < 0$.
Ответ: минус (-).

5) tg 4
Если в угле не указаны градусы, то он измеряется в радианах. Определим, в какой четверти находится угол в 4 радиана, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Границы четвертей в радианах: I (от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$), II (от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$), III (от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$), IV (от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$).
Поскольку $3,14 < 4 < 4,71$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в III четверти.
В III четверти тангенс ($\tg$) имеет положительный знак.
Значит, $\tg 4 > 0$.
Ответ: плюс (+).

6) ctg $\frac{5\pi}{3}$
Угол дан в радианах. Определим его четверть. Границы четвертей: $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$.
Сравним $\frac{5\pi}{3}$ с границами: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$. Наш угол $\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$.
Удовлетворяется неравенство $\frac{9\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} < \frac{12\pi}{6}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$. Угол находится в IV четверти.
Можно также перевести в градусы: $\frac{5\pi}{3} \text{ рад} = \frac{5 \cdot 180°}{3} = 300°$, что также соответствует IV четверти ($270° < 300° < 360°$).
В IV четверти котангенс ($\ctg$) имеет отрицательный знак.
Значит, $\ctg \frac{5\pi}{3} < 0$.
Ответ: минус (-).