Номер 160, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \sin^2 x;$

2) $f(x) = \sin x - \cos x;$

3) $f(x) = \frac{x \cos x}{3 + \cos x};$

4) $f(x) = \frac{x^3 + \sin x}{x^2 - 25};$

5) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{4 - |x|};$

6) $f(x) = \frac{(x - 1)\cos x}{x - 1};$

7) $f(x) = \frac{\sin|x - 4|}{\sin|x + 4|}.$

Для исследования функции $f(x)$ на четность необходимо:

1. Найти область определения функции $D(f)$ и проверить, является ли она симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Если область определения несимметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной.
2. Если область определения симметрична, найти $f(-x)$.
3. Сравнить $f(-x)$ с $f(x)$:
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$, то функция четная.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$, то функция нечетная.
   • Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция ни четная, ни нечетная.

1) $f(x) = \sin^2 x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sin^2(-x) = (\sin(-x))^2$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $f(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

2) $f(x) = \sin x - \cos x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x)$.
Используя свойства нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и четности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$), получаем: $f(-x) = -\sin x - \cos x$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -\sin x - \cos x \neq f(x)$.
$-f(x) = -(\sin x - \cos x) = -\sin x + \cos x \neq f(-x)$.
Так как не выполняется ни условие четности, ни условие нечетности, функция является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

3) $f(x) = \frac{x \cos x}{3 + \cos x}$

Область определения: знаменатель $3 + \cos x \neq 0$. Так как наименьшее значение $\cos x$ равно $-1$, то $3 + \cos x \ge 2$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x) \cos(-x)}{3 + \cos(-x)} = \frac{-x \cos x}{3 + \cos x} = -\frac{x \cos x}{3 + \cos x} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

4) $f(x) = \frac{x^3 + \sin x}{x^2 - 25}$

Область определения: знаменатель $x^2 - 25 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 5$. $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^3 + \sin(-x)}{(-x)^2 - 25} = \frac{-x^3 - \sin x}{x^2 - 25} = \frac{-(x^3 + \sin x)}{x^2 - 25} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

5) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{4 - |x|}$

Область определения: из-за тангенса $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Кроме того, знаменатель $4 - |x| \neq 0$, то есть $|x| \neq 4$, $x \neq \pm 4$. Полученная область определения является симметричной относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(-x)}{4 - |-x|}$.
Используя свойство нечетности тангенса ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$) и свойство модуля ($|-x|=|x|$), получаем: $f(-x) = \frac{-\operatorname{tg} x}{4 - |x|} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

6) $f(x) = \frac{(x - 1) \cos x}{x - 1}$

Область определения: знаменатель $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Область определения не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x = -1$ принадлежит области определения, а точка $x = 1$ не принадлежит.
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

7) $f(x) = \frac{\sin|x - 4|}{\sin|x + 4|}$

Область определения: знаменатель $\sin|x + 4| \neq 0$, что означает $|x + 4| \neq \pi k$ для любого целого $k \ge 0$.
Проверим симметричность области определения. Пусть, например, $k=1$. Тогда $|x + 4| \neq \pi$, что означает $x+4 \neq \pi$ и $x+4 \neq -\pi$. То есть $x \neq \pi - 4$ и $x \neq -\pi - 4$.
Рассмотрим точку $x_1 = \pi - 4$. Она не принадлежит области определения.
Рассмотрим симметричную ей точку $x_2 = -x_1 = -(\pi - 4) = 4 - \pi$. Проверим, принадлежит ли она области определения. $|x_2 + 4| = |(4 - \pi) + 4| = |8 - \pi| = 8 - \pi$. Так как $8 - \pi \neq \pi k$ ни для какого целого $k$, точка $x_2 = 4 - \pi$ принадлежит области определения.
Поскольку точка $x_1 = \pi - 4$ не входит в область определения, а симметричная ей точка $x_2 = 4 - \pi$ входит, область определения не является симметричной. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.