Номер 164, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Покажите, что число T является периодом функции f:

1) $f(x) = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

2) $f(x) = \operatorname{ctg} \pi x, T = 2;$

3) $f(x) = \left|\operatorname{ctg} \frac{x}{2}\right|, T = \pi;$

4) $f(x) = \cos^4 2x, T = \frac{\pi}{2}.$

1) Чтобы показать, что число $T=4\pi$ является периодом функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$, необходимо убедиться, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Проверим выполнение равенства:
$f(x+T) = f(x+4\pi) = \sin\left(\frac{x+4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right)$.
Поскольку функция синус периодична с основным периодом $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$.
Следовательно, $\sin\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) = f(x)$.
Равенство $f(x+4\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x$, значит $T=4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=4\pi$ является периодом функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$.

2) Чтобы показать, что число $T=2$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}(\pi x)$, проверим равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $D(f): \pi x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq k$. Если $x$ не является целым числом, то и $x+2$ не является целым числом, поэтому для любого $x \in D(f)$ значение $x+T$ также принадлежит $D(f)$.
Проверим выполнение равенства:
$f(x+T) = f(x+2) = \operatorname{ctg}(\pi(x+2)) = \operatorname{ctg}(\pi x + 2\pi)$.
Поскольку функция котангенс периодична с основным периодом $\pi$, то $\operatorname{ctg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{ctg}(\alpha)$ для любого целого $k$. В нашем случае $k=2$.
Следовательно, $\operatorname{ctg}(\pi x + 2\pi) = \operatorname{ctg}(\pi x) = f(x)$.
Равенство $f(x+2) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит $T=2$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=2$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}(\pi x)$.

3) Чтобы показать, что число $T=\pi$ является периодом функции $f(x) = \left|\operatorname{ctg}\frac{x}{2}\right|$, проверим, выполняется ли равенство $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.
$f(x+T) = f(x+\pi) = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x+\pi}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)\right|$.
Используя формулу приведения $\operatorname{ctg}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{tg}(\alpha)$, где $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем:
$\left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)\right| = \left|-\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right|$.
Для того чтобы $T=\pi$ был периодом, должно выполняться тождество $\left|\operatorname{ctg}\frac{x}{2}\right| = \left|\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right|$. Однако это неверно.
Приведем контрпример. Пусть $x = \frac{\pi}{3}$.
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = \sqrt{3}$.
При этом $f\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Так как $\sqrt{3} \neq \frac{1}{\sqrt{3}}$, равенство $f(x+\pi)=f(x)$ не выполняется. Следовательно, утверждение в задаче неверно.
Ответ: Утверждение неверно, $T=\pi$ не является периодом функции $f(x) = \left|\operatorname{ctg}\frac{x}{2}\right|$.

4) Чтобы показать, что число $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x) = \cos^4(2x)$, проверим равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Проверим выполнение равенства:
$f(x+T) = f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = \cos^4\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos^4(2x + \pi)$.
Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$, где $\alpha = 2x$, получаем:
$\cos(2x + \pi) = -\cos(2x)$.
Тогда $f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = (-\cos(2x))^4 = (-1)^4(\cos(2x))^4 = \cos^4(2x) = f(x)$.
Равенство $f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = f(x)$ выполняется для всех $x$, значит $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x) = \cos^4(2x)$.