Номер 163, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. На рисунке 26 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 26

а

$y$

$0$

$T$

$x$

б

$y$

$-\frac{T}{2}$

$0$

$\frac{T}{2}$

$x$

в

$y$

$-\frac{T}{3}$

$0$

$\frac{2T}{3}$

$x$

Для построения графика периодической функции на заданном промежутке необходимо использовать ее основное свойство: $f(x+T) = f(x)$, где $T$ – период функции. Это означает, что график функции повторяется на каждом интервале длиной $T$. Мы возьмем данный фрагмент графика и будем его "копировать", сдвигая вдоль оси $x$ на $T$, $2T$, $-T$, $-2T$ и так далее, чтобы покрыть весь требуемый промежуток $[-2T; 2T]$.

Исходный график задан на промежутке $(0, T]$. Это убывающая кривая, которая начинается от точки $(0, 2)$ (точка выколота, то есть $y \to 2$ при $x \to 0^+$) и заканчивается в точке $(T, 0)$. Длина этого промежутка равна $T$, что соответствует периоду.

Из свойства периодичности $f(0) = f(0+T) = f(T)$. Поскольку $f(T)=0$, то и $f(0)=0$. Аналогично, $f(kT) = 0$ для любого целого $k$. Таким образом, в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$ значение функции равно 0.

Чтобы построить график на промежутке $[-2T; 2T]$, мы должны повторить заданный фрагмент на интервалах $(-2T, -T]$, $(-T, 0]$, $(0, T]$ и $(T, 2T]$.

• На интервале $(0, T]$ график совпадает с заданным.
• На интервале $(T, 2T]$ график является копией исходного, сдвинутой на $T$ вправо. Он представляет собой убывающую кривую от $(T, 2)$ (выколотая точка) до $(2T, 0)$.
• На интервале $(-T, 0]$ график является копией исходного, сдвинутой на $T$ влево. Он представляет собой убывающую кривую от $(-T, 2)$ (выколотая точка) до $(0, 0)$.
• На интервале $(-2T, -T]$ график является копией исходного, сдвинутой на $2T$ влево. Он представляет собой убывающую кривую от $(-2T, 2)$ (выколотая точка) до $(-T, 0)$.

В результате получается график с разрывами первого рода в точках $x=kT$ (где $k$ – целое число). В этих точках значение функции равно 0, а предел справа равен 2.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из четырех одинаковых убывающих кривых. Каждая кривая начинается от значения $y=2$ (не включая его) на левом конце интервала $(kT, (k+1)T]$ и заканчивается в точке $((k+1)T, 0)$ на правом конце. Точки $(-2T,0), (-T,0), (0,0), (T,0), (2T,0)$ принадлежат графику.

Исходный график задан на промежутке $[-T/2, T/2]$. Длина этого промежутка равна $T/2 - (-T/2) = T$, что соответствует периоду. График представляет собой непрерывную "V"-образную линию, состоящую из двух отрезков, соединяющих точки $(-T/2, 1)$, $(0, 0)$ и $(T/2, 1)$.

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ мы должны многократно повторить этот "V"-образный фрагмент, сдвигая его на $T$ влево и вправо. Промежуток $[-2T; 2T]$ имеет длину $4T$, поэтому на нем поместятся четыре полных периода.

• Базовый фрагмент находится на $[-T/2, T/2]$.
• Сдвигаем его на $T$ вправо: получаем такой же фрагмент на $[T/2, 3T/2]$ с минимумом в точке $(T, 0)$.
• Сдвигаем его еще на $T$ вправо: получаем фрагмент на $[3T/2, 5T/2]$. Нам нужна его часть на $[3T/2, 2T]$. Это будет отрезок, идущий от $(3T/2, 1)$ вниз до $(2T, 0)$.
• Сдвигаем базовый фрагмент на $T$ влево: получаем такой же фрагмент на $[-3T/2, -T/2]$ с минимумом в точке $(-T, 0)$.
• Сдвигаем его еще на $T$ влево: получаем фрагмент на $[-5T/2, -3T/2]$. Нам нужна его часть на $[-2T, -3T/2]$. Это будет отрезок, идущий от $(-2T, 0)$ вверх до $(-3T/2, 1)$.

Итоговый график является непрерывной ломаной линией, напоминающей волну.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ – это непрерывная ломаная линия. Минимальные значения (равные 0) достигаются в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$. Максимальные значения (равные 1) достигаются в точках $x = -3T/2, -T/2, T/2, 3T/2$.

Исходный график задан на промежутке $(-T/3, 2T/3]$. Длина этого промежутка равна $2T/3 - (-T/3) = T$, что соответствует периоду. График имеет вертикальную асимптоту $x = -T/3$ (при $x \to -T/3^+$, $y \to +\infty$), проходит через начало координат $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(2T/3, 1)$.

Построение графика на промежутке $[-2T; 2T]$ осуществляется путем копирования этого фрагмента со сдвигом на $kT$ для целых $k$. Это означает, что весь график будет состоять из таких ветвей, разделенных вертикальными асимптотами.

Вертикальные асимптоты будут находиться в точках $x = -T/3 + kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ это будут прямые:

• $x = -T/3 - T = -4T/3$
• $x = -T/3$
• $x = -T/3 + T = 2T/3$
• $x = -T/3 + 2T = 5T/3$

Каждая ветвь графика будет пересекать ось $x$ в точке $x = kT$ (поскольку исходная ветвь пересекает ее в $x=0$). На промежутке $[-2T; 2T]$ нули функции будут в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$.

Каждая ветвь будет заканчиваться (или начинаться, если смотреть на следующий период) в точке с ординатой $y=1$. Эти точки имеют абсциссы $x = 2T/3 + kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ это точки $(-T/3, 1)$, $(2T/3, 1)$, $(5T/3, 1)$.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из повторяющихся ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = -4T/3$, $x = -T/3$, $x = 2T/3$, $x = 5T/3$. Каждая ветвь на интервале $(-T/3+kT, 2T/3+kT]$ стремится к $+\infty$ у левой асимптоты, пересекает ось абсцисс в точке $(kT, 0)$ и заканчивается в точке $(2T/3+kT, 1)$.