Страница 133 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Известно, что число $T=\sqrt{2}$ является периодом функции $f$. Укажите ещё какие-либо три числа, которые являются периодами этой функции.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Важным свойством периодических функций является то, что если число $T$ — период функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также будет являться периодом этой функции.

Проверим это свойство. Например, для $n=2$:

$f(x + 2T) = f((x+T) + T)$. Так как $T$ — период, то $f((x+T) + T) = f(x+T)$. В свою очередь, $f(x+T) = f(x)$. Следовательно, $f(x+2T)=f(x)$, и $2T$ — тоже период.

Аналогично для $n=-1$:

$f(x) = f(x+T)$. Если мы заменим $x$ на $x-T$, получим $f(x-T) = f((x-T)+T) = f(x)$. Это означает, что $-T$ также является периодом.

В условии задачи дан период $T = \sqrt{2}$. Чтобы найти другие периоды, мы можем умножить $T$ на любые целые числа, отличные от 0 и 1. Выберем, например, числа 2, 5 и -3.

1. Первый период: $2T = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

2. Второй период: $5T = 5 \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

3. Третий период: $-3T = -3 \cdot \sqrt{2} = -3\sqrt{2}$.

Эти три числа являются примерами других периодов функции $f$.

Ответ: $2\sqrt{2}$, $5\sqrt{2}$, $-3\sqrt{2}$ (в качестве ответа можно привести любые другие числа вида $n\sqrt{2}$, где $n$ — целое число, не равное 0 и 1).

163. На рисунке 26 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 26

а

$y$

$0$

$T$

$x$

б

$y$

$-\frac{T}{2}$

$0$

$\frac{T}{2}$

$x$

в

$y$

$-\frac{T}{3}$

$0$

$\frac{2T}{3}$

$x$

Для построения графика периодической функции на заданном промежутке необходимо использовать ее основное свойство: $f(x+T) = f(x)$, где $T$ – период функции. Это означает, что график функции повторяется на каждом интервале длиной $T$. Мы возьмем данный фрагмент графика и будем его "копировать", сдвигая вдоль оси $x$ на $T$, $2T$, $-T$, $-2T$ и так далее, чтобы покрыть весь требуемый промежуток $[-2T; 2T]$.

Исходный график задан на промежутке $(0, T]$. Это убывающая кривая, которая начинается от точки $(0, 2)$ (точка выколота, то есть $y \to 2$ при $x \to 0^+$) и заканчивается в точке $(T, 0)$. Длина этого промежутка равна $T$, что соответствует периоду.

Из свойства периодичности $f(0) = f(0+T) = f(T)$. Поскольку $f(T)=0$, то и $f(0)=0$. Аналогично, $f(kT) = 0$ для любого целого $k$. Таким образом, в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$ значение функции равно 0.

Чтобы построить график на промежутке $[-2T; 2T]$, мы должны повторить заданный фрагмент на интервалах $(-2T, -T]$, $(-T, 0]$, $(0, T]$ и $(T, 2T]$.

• На интервале $(0, T]$ график совпадает с заданным.
• На интервале $(T, 2T]$ график является копией исходного, сдвинутой на $T$ вправо. Он представляет собой убывающую кривую от $(T, 2)$ (выколотая точка) до $(2T, 0)$.
• На интервале $(-T, 0]$ график является копией исходного, сдвинутой на $T$ влево. Он представляет собой убывающую кривую от $(-T, 2)$ (выколотая точка) до $(0, 0)$.
• На интервале $(-2T, -T]$ график является копией исходного, сдвинутой на $2T$ влево. Он представляет собой убывающую кривую от $(-2T, 2)$ (выколотая точка) до $(-T, 0)$.

В результате получается график с разрывами первого рода в точках $x=kT$ (где $k$ – целое число). В этих точках значение функции равно 0, а предел справа равен 2.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из четырех одинаковых убывающих кривых. Каждая кривая начинается от значения $y=2$ (не включая его) на левом конце интервала $(kT, (k+1)T]$ и заканчивается в точке $((k+1)T, 0)$ на правом конце. Точки $(-2T,0), (-T,0), (0,0), (T,0), (2T,0)$ принадлежат графику.

Исходный график задан на промежутке $[-T/2, T/2]$. Длина этого промежутка равна $T/2 - (-T/2) = T$, что соответствует периоду. График представляет собой непрерывную "V"-образную линию, состоящую из двух отрезков, соединяющих точки $(-T/2, 1)$, $(0, 0)$ и $(T/2, 1)$.

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ мы должны многократно повторить этот "V"-образный фрагмент, сдвигая его на $T$ влево и вправо. Промежуток $[-2T; 2T]$ имеет длину $4T$, поэтому на нем поместятся четыре полных периода.

• Базовый фрагмент находится на $[-T/2, T/2]$.
• Сдвигаем его на $T$ вправо: получаем такой же фрагмент на $[T/2, 3T/2]$ с минимумом в точке $(T, 0)$.
• Сдвигаем его еще на $T$ вправо: получаем фрагмент на $[3T/2, 5T/2]$. Нам нужна его часть на $[3T/2, 2T]$. Это будет отрезок, идущий от $(3T/2, 1)$ вниз до $(2T, 0)$.
• Сдвигаем базовый фрагмент на $T$ влево: получаем такой же фрагмент на $[-3T/2, -T/2]$ с минимумом в точке $(-T, 0)$.
• Сдвигаем его еще на $T$ влево: получаем фрагмент на $[-5T/2, -3T/2]$. Нам нужна его часть на $[-2T, -3T/2]$. Это будет отрезок, идущий от $(-2T, 0)$ вверх до $(-3T/2, 1)$.

Итоговый график является непрерывной ломаной линией, напоминающей волну.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ – это непрерывная ломаная линия. Минимальные значения (равные 0) достигаются в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$. Максимальные значения (равные 1) достигаются в точках $x = -3T/2, -T/2, T/2, 3T/2$.

Исходный график задан на промежутке $(-T/3, 2T/3]$. Длина этого промежутка равна $2T/3 - (-T/3) = T$, что соответствует периоду. График имеет вертикальную асимптоту $x = -T/3$ (при $x \to -T/3^+$, $y \to +\infty$), проходит через начало координат $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(2T/3, 1)$.

Построение графика на промежутке $[-2T; 2T]$ осуществляется путем копирования этого фрагмента со сдвигом на $kT$ для целых $k$. Это означает, что весь график будет состоять из таких ветвей, разделенных вертикальными асимптотами.

Вертикальные асимптоты будут находиться в точках $x = -T/3 + kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ это будут прямые:

• $x = -T/3 - T = -4T/3$
• $x = -T/3$
• $x = -T/3 + T = 2T/3$
• $x = -T/3 + 2T = 5T/3$

Каждая ветвь графика будет пересекать ось $x$ в точке $x = kT$ (поскольку исходная ветвь пересекает ее в $x=0$). На промежутке $[-2T; 2T]$ нули функции будут в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$.

Каждая ветвь будет заканчиваться (или начинаться, если смотреть на следующий период) в точке с ординатой $y=1$. Эти точки имеют абсциссы $x = 2T/3 + kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ это точки $(-T/3, 1)$, $(2T/3, 1)$, $(5T/3, 1)$.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из повторяющихся ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = -4T/3$, $x = -T/3$, $x = 2T/3$, $x = 5T/3$. Каждая ветвь на интервале $(-T/3+kT, 2T/3+kT]$ стремится к $+\infty$ у левой асимптоты, пересекает ось абсцисс в точке $(kT, 0)$ и заканчивается в точке $(2T/3+kT, 1)$.

164. Покажите, что число T является периодом функции f:

1) $f(x) = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

2) $f(x) = \operatorname{ctg} \pi x, T = 2;$

3) $f(x) = \left|\operatorname{ctg} \frac{x}{2}\right|, T = \pi;$

4) $f(x) = \cos^4 2x, T = \frac{\pi}{2}.$

1) Чтобы показать, что число $T=4\pi$ является периодом функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$, необходимо убедиться, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Проверим выполнение равенства:
$f(x+T) = f(x+4\pi) = \sin\left(\frac{x+4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right)$.
Поскольку функция синус периодична с основным периодом $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$.
Следовательно, $\sin\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) = f(x)$.
Равенство $f(x+4\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x$, значит $T=4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=4\pi$ является периодом функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$.

2) Чтобы показать, что число $T=2$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}(\pi x)$, проверим равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $D(f): \pi x \neq k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq k$. Если $x$ не является целым числом, то и $x+2$ не является целым числом, поэтому для любого $x \in D(f)$ значение $x+T$ также принадлежит $D(f)$.
Проверим выполнение равенства:
$f(x+T) = f(x+2) = \operatorname{ctg}(\pi(x+2)) = \operatorname{ctg}(\pi x + 2\pi)$.
Поскольку функция котангенс периодична с основным периодом $\pi$, то $\operatorname{ctg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{ctg}(\alpha)$ для любого целого $k$. В нашем случае $k=2$.
Следовательно, $\operatorname{ctg}(\pi x + 2\pi) = \operatorname{ctg}(\pi x) = f(x)$.
Равенство $f(x+2) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит $T=2$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=2$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}(\pi x)$.

3) Чтобы показать, что число $T=\pi$ является периодом функции $f(x) = \left|\operatorname{ctg}\frac{x}{2}\right|$, проверим, выполняется ли равенство $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.
$f(x+T) = f(x+\pi) = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x+\pi}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)\right|$.
Используя формулу приведения $\operatorname{ctg}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{tg}(\alpha)$, где $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем:
$\left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)\right| = \left|-\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right|$.
Для того чтобы $T=\pi$ был периодом, должно выполняться тождество $\left|\operatorname{ctg}\frac{x}{2}\right| = \left|\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right|$. Однако это неверно.
Приведем контрпример. Пусть $x = \frac{\pi}{3}$.
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = \sqrt{3}$.
При этом $f\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Так как $\sqrt{3} \neq \frac{1}{\sqrt{3}}$, равенство $f(x+\pi)=f(x)$ не выполняется. Следовательно, утверждение в задаче неверно.
Ответ: Утверждение неверно, $T=\pi$ не является периодом функции $f(x) = \left|\operatorname{ctg}\frac{x}{2}\right|$.

4) Чтобы показать, что число $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x) = \cos^4(2x)$, проверим равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Проверим выполнение равенства:
$f(x+T) = f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = \cos^4\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos^4(2x + \pi)$.
Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$, где $\alpha = 2x$, получаем:
$\cos(2x + \pi) = -\cos(2x)$.
Тогда $f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = (-\cos(2x))^4 = (-1)^4(\cos(2x))^4 = \cos^4(2x) = f(x)$.
Равенство $f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = f(x)$ выполняется для всех $x$, значит $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x) = \cos^4(2x)$.

165. Покажите, что число $T = \pi$ не является периодом функции $f(x) = \cos x$.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Чтобы доказать, что число $T = \pi$ не является периодом функции $f(x) = \cos x$, достаточно найти хотя бы одно значение $x$, для которого равенство $f(x+\pi) = f(x)$ не выполняется. Такой пример называется контрпримером.

Возьмем в качестве контрпримера значение $x=0$.

Вычислим значение функции $f(x)$ в этой точке:
$f(0) = \cos(0) = 1$.

Теперь вычислим значение функции в точке $x+T = 0+\pi = \pi$:
$f(0+\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $f(0+\pi) \neq f(0)$, поскольку $-1 \neq 1$.

Так как мы нашли значение $x$, для которого основное свойство периодической функции не выполняется, мы доказали, что число $T = \pi$ не является периодом для функции $f(x) = \cos x$.
Ответ: Поскольку было найдено значение $x=0$, для которого $f(0+\pi) \neq f(0)$, то по определению $T = \pi$ не является периодом функции $f(x) = \cos x$.