Страница 137 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $5\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha$;

2) $4\sin^2 \alpha - 3\text{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$;

3) $5\sin^2 \alpha + 2\cos \alpha$;

4) $8\sin \alpha - \cos^2 \alpha$.

1) $5\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим $\cos^2\alpha$ через $\sin^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:
$5\sin^2\alpha - 2(1 - \sin^2\alpha) = 5\sin^2\alpha - 2 + 2\sin^2\alpha = 7\sin^2\alpha - 2$.

Область значений функции $y=\sin^2\alpha$ — это отрезок $[0, 1]$. Следовательно, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения выражения $7\sin^2\alpha - 2$, нужно подставить в него крайние значения для $\sin^2\alpha$.

Наименьшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 0$:
$7 \cdot 0 - 2 = -2$.

Наибольшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 1$:
$7 \cdot 1 - 2 = 5$.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 5.

2) $4\sin^2\alpha - 3\text{ctg}^2\alpha \sin^2\alpha$

Упростим выражение, используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Это преобразование корректно при условии, что $\sin\alpha \neq 0$.

$4\sin^2\alpha - 3 \cdot \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 \cdot \sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha - 3\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha$.

Далее воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:
$4\sin^2\alpha - 3(1 - \sin^2\alpha) = 4\sin^2\alpha - 3 + 3\sin^2\alpha = 7\sin^2\alpha - 3$.

Хотя исходное выражение не определено при $\sin\alpha = 0$, для нахождения диапазона значений обычно рассматривают упрощенное выражение $7\sin^2\alpha - 3$ для всех допустимых значений $\alpha$, то есть для $\sin^2\alpha \in [0, 1]$.

Наименьшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 0$:
$7 \cdot 0 - 3 = -3$.

Наибольшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 1$:
$7 \cdot 1 - 3 = 4$.

Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 4.

3) $5\sin^2\alpha + 2\cos\alpha$

Приведем выражение к зависимости от одной тригонометрической функции. Используем тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:
$5(1 - \cos^2\alpha) + 2\cos\alpha = 5 - 5\cos^2\alpha + 2\cos\alpha$.

Пусть $t = \cos\alpha$. Так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то $t \in [-1, 1]$.
Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = -5t^2 + 2t + 5$ на отрезке $[-1, 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз. Наибольшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-5)} = \frac{1}{5}$.

Точка $t_v = 1/5$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому наибольшее значение равно значению функции в этой точке:
$f(\frac{1}{5}) = -5(\frac{1}{5})^2 + 2(\frac{1}{5}) + 5 = -5 \cdot \frac{1}{25} + \frac{2}{5} + 5 = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + 5 = \frac{1}{5} + 5 = 5,2$.

Наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения $f(-1)$ и $f(1)$:
$f(-1) = -5(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -5 - 2 + 5 = -2$.
$f(1) = -5(1)^2 + 2(1) + 5 = -5 + 2 + 5 = 2$.

Наименьшее из этих значений равно -2.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 5,2.

4) $8\sin\alpha - \cos^2\alpha$

Используем тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы выразить все через $\sin\alpha$:
$8\sin\alpha - (1 - \sin^2\alpha) = 8\sin\alpha - 1 + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha + 8\sin\alpha - 1$.

Пусть $t = \sin\alpha$. Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то $t \in [-1, 1]$.
Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $g(t) = t^2 + 8t - 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.

Вершина $t_v = -4$ не лежит в отрезке $[-1, 1]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее отрезка, функция $g(t)$ возрастает на всем отрезке $[-1, 1]$.

Следовательно, наименьшее значение достигается в левой крайней точке $t = -1$, а наибольшее — в правой крайней точке $t = 1$.

Наименьшее значение: $g(-1) = (-1)^2 + 8(-1) - 1 = 1 - 8 - 1 = -8$.
Наибольшее значение: $g(1) = (1)^2 + 8(1) - 1 = 1 + 8 - 1 = 8$.

Ответ: наименьшее значение: -8, наибольшее значение: 8.

185. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5 \cos \alpha + 6 \sin \alpha}{3 \sin \alpha - 8 \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = 4;$

2) $\frac{3 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = -3.$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 8\cos\alpha}$ при $\text{tg}\,\alpha = 4$, воспользуемся определением тангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Поскольку значение тангенса определено, $\cos\alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:
$\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 8\cos\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{6\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{8\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{5 + 6\text{tg}\,\alpha}{3\text{tg}\,\alpha - 8}$
Теперь подставим известное значение $\text{tg}\,\alpha = 4$ в полученное выражение:
$\frac{5 + 6 \cdot 4}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{5 + 24}{12 - 8} = \frac{29}{4}$
Ответ: $\frac{29}{4}$

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{3\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\sin\alpha\cos\alpha}$ при $\text{ctg}\,\alpha = -3$, воспользуемся определением котангенса: $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Поскольку значение котангенса определено, $\sin\alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$:
$\frac{3\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\frac{3\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{3 - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + 2(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2}{1 - 4\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{3 - \text{ctg}\,\alpha + 2\text{ctg}^2\alpha}{1 - 4\text{ctg}\,\alpha}$
Теперь подставим известное значение $\text{ctg}\,\alpha = -3$ в полученное выражение:
$\frac{3 - (-3) + 2(-3)^2}{1 - 4(-3)} = \frac{3 + 3 + 2 \cdot 9}{1 + 12} = \frac{6 + 18}{13} = \frac{24}{13}$
Ответ: $\frac{24}{13}$

186. Дано: $\cos \alpha + \sin \alpha = -0,2$. Найдите:

1) $\sin \alpha \cos \alpha$;

2) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha$.

1) sin α cos α;

Для того чтобы найти произведение $ \sin \alpha \cos \alpha $, воспользуемся данным равенством $ \cos \alpha + \sin \alpha = -0,2 $. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = (-0,2)^2 $

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = 0,04 $

Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,04 $

$ 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,04 $

Теперь выразим искомое произведение $ \sin \alpha \cos \alpha $:

$ 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,04 - 1 $

$ 2 \sin \alpha \cos \alpha = -0,96 $

$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{-0,96}{2} $

$ \sin \alpha \cos \alpha = -0,48 $

Ответ: -0,48

2) tg α + ctg α.

Для нахождения суммы $ \tg \alpha + \ctg \alpha $, выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

$ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $

Сложим эти два выражения:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin \alpha \cos \alpha $:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $

В числителе мы получили основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Из первого пункта мы уже нашли, что $ \sin \alpha \cos \alpha = -0,48 $. Подставим это значение в полученное выражение:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{-0,48} $

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$ -0,48 = -\frac{48}{100} = -\frac{12}{25} $

Тогда:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{-\frac{12}{25}} = 1 \cdot (-\frac{25}{12}) = -\frac{25}{12} $

Этот результат можно также представить в виде смешанной дроби: $ -2\frac{1}{12} $.

Ответ: $-\frac{25}{12}$

187. Постройте график функции:

1) $y = \sin 2\alpha \operatorname{ctg} 2\alpha;$

2) $y = \cos^2 \sqrt{1 - x^2} + \sin^2 \sqrt{1 - x^2}.$

1) $y = \sin(2\alpha) \operatorname{ctg}(2\alpha)$

Для построения графика этой функции, сначала найдем ее область определения и упростим выражение.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция котангенса $\operatorname{ctg}(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю. В нашем случае $z = 2\alpha$, поэтому мы должны исключить значения $\alpha$, для которых $\sin(2\alpha) = 0$.
Уравнение $\sin(2\alpha) = 0$ имеет решения при $2\alpha = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции: $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение функции.
На области определения, где $\sin(2\alpha) \neq 0$, мы можем упростить выражение, используя определение котангенса:
$y = \sin(2\alpha) \cdot \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \cos(2\alpha)$.

3. Построение графика.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos(2\alpha)$, за исключением точек, в которых $\alpha = \frac{\pi k}{2}$. Эти точки называются "выколотыми".
График $y = \cos(2\alpha)$ - это косинусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Найдем координаты выколотых точек. Для этого подставим значения $\alpha = \frac{\pi k}{2}$ в упрощенное выражение $y = \cos(2\alpha)$:
$y = \cos(2 \cdot \frac{\pi k}{2}) = \cos(\pi k)$.
- Если $k$ - четное число ($k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$), то $\alpha = n\pi$, и $y = \cos(2\pi n) = 1$. Координаты точек: $(..., (-\pi, 1), (0, 1), (\pi, 1), ...)$.
- Если $k$ - нечетное число ($k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$), то $\alpha = \frac{\pi(2n+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$, и $y = \cos(\pi(2n+1)) = -1$. Координаты точек: $(..., (-\frac{\pi}{2}, -1), (\frac{\pi}{2}, -1), (\frac{3\pi}{2}, -1), ...)$.
График представляет собой косинусоиду $y=\cos(2\alpha)$ с выколотыми точками в ее максимумах и минимумах.

Ответ: График функции представляет собой график $y = \cos(2\alpha)$ с выколотыми точками $(\frac{\pi k}{2}, (-1)^k)$ при всех целых $k$.

2) $y = \cos^2\sqrt{1 - x^2} + \sin^2\sqrt{1 - x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция содержит выражение с квадратным корнем $\sqrt{1 - x^2}$. Для того чтобы корень был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$1 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 1$
$|x| \le 1$, что эквивалентно неравенству $-1 \le x \le 1$.
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Упрощение функции.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(z) + \cos^2(z) = 1$, которое верно для любого действительного значения $z$.
В данном случае $z = \sqrt{1 - x^2}$. Для любого $x$ из области определения $[-1, 1]$ значение $z$ является действительным числом. Следовательно, мы можем применить тождество:
$y = \cos^2\sqrt{1 - x^2} + \sin^2\sqrt{1 - x^2} = 1$.

3. Построение графика.
Функция принимает постоянное значение $y=1$ для всех $x$ из своей области определения, то есть для $x \in [-1, 1]$.
Следовательно, график функции - это отрезок прямой $y=1$, концами которого являются точки с координатами $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Концевые точки отрезка включены в график, так как неравенство в ОДЗ нестрогое.

Ответ: График функции - это отрезок прямой $y=1$ при $x \in [-1, 1]$.

188. Упростите выражение:

1) $ \sqrt{1-\sin^2 \frac{\alpha}{2}} + \sqrt{1-\cos^2 \frac{\alpha}{2}} $, если $ 3\pi < \alpha < 4\pi $;

2) $ \sqrt{\sin^2 \alpha(1-\text{ctg}\,\alpha) + \cos^2 \alpha(1-\text{tg}\,\alpha)} $, если $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

1)

Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Из него следуют два равенства: $1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и $1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \sin^2 \frac{\alpha}{2}$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\sqrt{1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2}} + \sqrt{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} + \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$|\cos \frac{\alpha}{2}| + |\sin \frac{\alpha}{2}|$.

Теперь необходимо определить знаки функций $\cos \frac{\alpha}{2}$ и $\sin \frac{\alpha}{2}$ с учетом заданного условия $3\pi < \alpha < 4\pi$.
Для этого разделим все части неравенства на 2:
$\frac{3\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{4\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < 2\pi$.

Данный интервал соответствует IV четверти тригонометрической окружности. В этой четверти косинус имеет положительный знак, а синус — отрицательный.
Следовательно, $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ и $\sin \frac{\alpha}{2} < 0$.

Раскроем модули с учетом знаков:
$|\cos \frac{\alpha}{2}| = \cos \frac{\alpha}{2}$
$|\sin \frac{\alpha}{2}| = -\sin \frac{\alpha}{2}$.

В результате получаем:
$\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}$.

2)

Упростим подкоренное выражение. Для этого раскроем скобки и заменим котангенс и тангенс на отношение синуса и косинуса: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\sin^2 \alpha(1 - \ctg \alpha) + \cos^2 \alpha(1 - \tg \alpha) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Сократив дроби, получим:
$\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \cos \alpha \sin \alpha$.

Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Данное выражение является полным квадратом разности:
$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Следовательно, исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2} = |\sin \alpha - \cos \alpha|$.

Теперь определим знак выражения $\sin \alpha - \cos \alpha$, зная, что $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.
Этот интервал соответствует IV четверти, в которой синус отрицателен ($\sin \alpha < 0$), а косинус положителен ($\cos \alpha > 0$).

Разность отрицательного и положительного числа всегда является отрицательным числом:
$\sin \alpha - \cos \alpha < 0$.

Таким образом, раскрываем модуль, меняя знак выражения на противоположный:
$|\sin \alpha - \cos \alpha| = -(\sin \alpha - \cos \alpha) = -\sin \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha - \sin \alpha$.

Ответ: $\cos \alpha - \sin \alpha$.

189. Упростите выражение:

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); $

2) $ 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha; $

3) $ \frac{\cos(30^\circ + \alpha) - \sin(60^\circ + \alpha)}{\cos(30^\circ - \alpha) - \sin(60^\circ - \alpha)}. $

1)

Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$ можно использовать формулу разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} + \alpha$.

Найдем аргументы для синуса и косинуса в формуле:

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) - (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} - \alpha - \frac{\pi}{4} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha$.

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \alpha) + (\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Подставим полученные значения в формулу разности синусов:

$2sin(-\alpha)cos(\frac{\pi}{4})$.

Так как синус — нечетная функция, $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Значение косинуса $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение:

$2 \cdot (-sin(\alpha)) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}sin(\alpha)$.

Ответ: $-\sqrt{2}sin(\alpha)$.

2)

Рассмотрим выражение $2sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha$.

Применим формулу синуса разности аргументов: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.

Раскроем $sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$.

Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha$.

Раскроем скобки, умножив каждый член на 2:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - 2 \cdot \frac{1}{2}sin(\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha = \sqrt{3}cos(\alpha) - sin(\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha$.

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(\sqrt{3}cos(\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha) + (-sin(\alpha) + sin\alpha) = 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

3)

Упростим выражение $\frac{cos(30^\circ + \alpha) - sin(60^\circ + \alpha)}{cos(30^\circ - \alpha) - sin(60^\circ - \alpha)}$.

Используем формулу приведения $sin(x) = cos(90^\circ - x)$ для преобразования синусов в косинусы.

Преобразуем числитель. Заменим $sin(60^\circ + \alpha)$:

$sin(60^\circ + \alpha) = cos(90^\circ - (60^\circ + \alpha)) = cos(90^\circ - 60^\circ - \alpha) = cos(30^\circ - \alpha)$.

Теперь числитель имеет вид: $cos(30^\circ + \alpha) - cos(30^\circ - \alpha)$.

Применим формулу разности косинусов $cos(x) - cos(y) = -2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$:

$-2sin(\frac{(30^\circ + \alpha) + (30^\circ - \alpha)}{2})sin(\frac{(30^\circ + \alpha) - (30^\circ - \alpha)}{2}) = -2sin(\frac{60^\circ}{2})sin(\frac{2\alpha}{2}) = -2sin(30^\circ)sin(\alpha)$.

Так как $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, числитель равен $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot sin(\alpha) = -sin(\alpha)$.

Преобразуем знаменатель. Заменим $sin(60^\circ - \alpha)$:

$sin(60^\circ - \alpha) = cos(90^\circ - (60^\circ - \alpha)) = cos(90^\circ - 60^\circ + \alpha) = cos(30^\circ + \alpha)$.

Теперь знаменатель имеет вид: $cos(30^\circ - \alpha) - cos(30^\circ + \alpha)$.

Это выражение является противоположным числителю, который мы уже преобразовали. Можно сразу сказать, что оно равно $sin(\alpha)$. Проверим, применив формулу разности косинусов:

$-2sin(\frac{(30^\circ - \alpha) + (30^\circ + \alpha)}{2})sin(\frac{(30^\circ - \alpha) - (30^\circ + \alpha)}{2}) = -2sin(\frac{60^\circ}{2})sin(\frac{-2\alpha}{2}) = -2sin(30^\circ)sin(-\alpha)$.

Так как $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$, знаменатель равен $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-sin(\alpha)) = sin(\alpha)$.

Разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-sin(\alpha)}{sin(\alpha)} = -1$.

Ответ: $-1$.