Номер 186, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Дано: $\cos \alpha + \sin \alpha = -0,2$. Найдите:

1) $\sin \alpha \cos \alpha$;

2) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha$.

1) sin α cos α;

Для того чтобы найти произведение $ \sin \alpha \cos \alpha $, воспользуемся данным равенством $ \cos \alpha + \sin \alpha = -0,2 $. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = (-0,2)^2 $

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = 0,04 $

Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,04 $

$ 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,04 $

Теперь выразим искомое произведение $ \sin \alpha \cos \alpha $:

$ 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,04 - 1 $

$ 2 \sin \alpha \cos \alpha = -0,96 $

$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{-0,96}{2} $

$ \sin \alpha \cos \alpha = -0,48 $

Ответ: -0,48

2) tg α + ctg α.

Для нахождения суммы $ \tg \alpha + \ctg \alpha $, выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

$ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $

Сложим эти два выражения:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin \alpha \cos \alpha $:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $

В числителе мы получили основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Из первого пункта мы уже нашли, что $ \sin \alpha \cos \alpha = -0,48 $. Подставим это значение в полученное выражение:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{-0,48} $

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$ -0,48 = -\frac{48}{100} = -\frac{12}{25} $

Тогда:

$ \tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{-\frac{12}{25}} = 1 \cdot (-\frac{25}{12}) = -\frac{25}{12} $

Этот результат можно также представить в виде смешанной дроби: $ -2\frac{1}{12} $.

Ответ: $-\frac{25}{12}$