Номер 187, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Постройте график функции:

1) $y = \sin 2\alpha \operatorname{ctg} 2\alpha;$

2) $y = \cos^2 \sqrt{1 - x^2} + \sin^2 \sqrt{1 - x^2}.$

1) $y = \sin(2\alpha) \operatorname{ctg}(2\alpha)$

Для построения графика этой функции, сначала найдем ее область определения и упростим выражение.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция котангенса $\operatorname{ctg}(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю. В нашем случае $z = 2\alpha$, поэтому мы должны исключить значения $\alpha$, для которых $\sin(2\alpha) = 0$.
Уравнение $\sin(2\alpha) = 0$ имеет решения при $2\alpha = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции: $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение функции.
На области определения, где $\sin(2\alpha) \neq 0$, мы можем упростить выражение, используя определение котангенса:
$y = \sin(2\alpha) \cdot \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \cos(2\alpha)$.

3. Построение графика.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos(2\alpha)$, за исключением точек, в которых $\alpha = \frac{\pi k}{2}$. Эти точки называются "выколотыми".
График $y = \cos(2\alpha)$ - это косинусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Найдем координаты выколотых точек. Для этого подставим значения $\alpha = \frac{\pi k}{2}$ в упрощенное выражение $y = \cos(2\alpha)$:
$y = \cos(2 \cdot \frac{\pi k}{2}) = \cos(\pi k)$.
- Если $k$ - четное число ($k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$), то $\alpha = n\pi$, и $y = \cos(2\pi n) = 1$. Координаты точек: $(..., (-\pi, 1), (0, 1), (\pi, 1), ...)$.
- Если $k$ - нечетное число ($k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$), то $\alpha = \frac{\pi(2n+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$, и $y = \cos(\pi(2n+1)) = -1$. Координаты точек: $(..., (-\frac{\pi}{2}, -1), (\frac{\pi}{2}, -1), (\frac{3\pi}{2}, -1), ...)$.
График представляет собой косинусоиду $y=\cos(2\alpha)$ с выколотыми точками в ее максимумах и минимумах.

Ответ: График функции представляет собой график $y = \cos(2\alpha)$ с выколотыми точками $(\frac{\pi k}{2}, (-1)^k)$ при всех целых $k$.

2) $y = \cos^2\sqrt{1 - x^2} + \sin^2\sqrt{1 - x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция содержит выражение с квадратным корнем $\sqrt{1 - x^2}$. Для того чтобы корень был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$1 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 1$
$|x| \le 1$, что эквивалентно неравенству $-1 \le x \le 1$.
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Упрощение функции.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(z) + \cos^2(z) = 1$, которое верно для любого действительного значения $z$.
В данном случае $z = \sqrt{1 - x^2}$. Для любого $x$ из области определения $[-1, 1]$ значение $z$ является действительным числом. Следовательно, мы можем применить тождество:
$y = \cos^2\sqrt{1 - x^2} + \sin^2\sqrt{1 - x^2} = 1$.

3. Построение графика.
Функция принимает постоянное значение $y=1$ для всех $x$ из своей области определения, то есть для $x \in [-1, 1]$.
Следовательно, график функции - это отрезок прямой $y=1$, концами которого являются точки с координатами $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Концевые точки отрезка включены в график, так как неравенство в ОДЗ нестрогое.

Ответ: График функции - это отрезок прямой $y=1$ при $x \in [-1, 1]$.