Номер 192, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Преобразуйте в произведение:

1) $tg 34^\circ + tg 26^\circ$

2) $ctg 3\beta - ctg 10\beta$

3) $tg \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - tg \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$

4) $1 - tg \alpha$

1) Для преобразования суммы тангенсов в произведение воспользуемся формулой $tg \: x + tg \: y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$.

В нашем случае $x=34^\circ$ и $y=26^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$tg \: 34^\circ + tg \: 26^\circ = \frac{\sin(34^\circ+26^\circ)}{\cos 34^\circ \cos 26^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 34^\circ \cos 26^\circ}$.

Мы знаем, что значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим его в выражение:

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 34^\circ \cos 26^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 34^\circ \cos 26^\circ}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos 34^\circ \cos 26^\circ}$.

2) Для преобразования разности котангенсов в произведение воспользуемся формулой $ctg \: x - ctg \: y = \frac{\sin(y-x)}{\sin x \sin y}$.

В данном случае $x=3\beta$ и $y=10\beta$. Подставим эти значения в формулу:

$ctg \: 3\beta - ctg \: 10\beta = \frac{\sin(10\beta-3\beta)}{\sin 3\beta \sin 10\beta} = \frac{\sin 7\beta}{\sin 3\beta \sin 10\beta}$.

Ответ: $\frac{\sin 7\beta}{\sin 3\beta \sin 10\beta}$.

3) Для преобразования разности тангенсов в произведение воспользуемся формулой $tg \: x - tg \: y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$.

Здесь $x = \alpha + \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{6}$. Подставим в формулу:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) - tg(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sin((\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{6}))}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

Упростим аргумент синуса в числителе:

$(\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{6}) = \alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем окончательный результат:

$\frac{1}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

4) Чтобы преобразовать данное выражение, представим число 1 как тангенс угла $\frac{\pi}{4}$, то есть $1 = tg \frac{\pi}{4}$.

Теперь выражение имеет вид $tg \frac{\pi}{4} - tg \: \alpha$. Воспользуемся формулой разности тангенсов $tg \: x - tg \: y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$:

$tg \frac{\pi}{4} - tg \: \alpha = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha}$.

Мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в знаменатель:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha} = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sqrt{2} \cos \alpha}$.

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{2\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2 \cos \alpha} = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos \alpha}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos \alpha}$.